第1章行列式 ·3· 性质1.4若行列式中某一行（列）的元素a,都可分解为两元素b,与c,之和， 即a,=b,十c,()=1,2,.,n,1≤i≤n),则该行列式可分解为相应的两个行列式 之和，即 a b1+c1ba+c2.b。+ca a2。 a1a2.a1nana12.an =b1ba.bn+cc2.cn alae.am ada.a 性质1.5把行列式任一行（列）的各元素同乘以一个常数k加到另一行（列） 对应的元素上，行列式的值不变，即 an an a11 a12 a十anaa+a.am十a an a a d 3.定理 利用行列式的定义1.1和行列式的性质可得到n阶行列式按任一行（列）展开 的定理 定理L.1n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式 的乘积之和，即 D=aA1十aaA+.+aAn=∑a4AtG=1,2,0） D=aAy+A++aA=AG=12,m 定理1.2行列式中某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子
·4 线性代数学习指导 式乘积之和等于零，即 aA+aAa++aA=2aAa=0G≠j=12.m 或 aAy十aA++aA=2aA=0i≠j=1,2m 综合定理1.1和定理1.2，对于代数余子式有如下重要结论： 月Au=n 或 Au-Do 其中 1,i=j=12. m=0,i≠j 4.几个特殊行列式 (1)上三角行列式 |ana2.am 0a2z.a2m 00.am (2)下三角行列式 |am0. a21a22. an dre.am (3)对角形行列式 a0. 0a2. =a1a22.am 0 0
第1章行列式 ·5· (4)n阶范德蒙德(Vandermonde)行列式(n≥2) 11.1 x1x2. x V.= . Ⅱ(x,-x) x1.x (5) an .a 0. 0 . a 0 . a1.ab.b . an a bn.bm cl.cb.b 5.行列式的计算 行列式的计算是本章的重点，常用的方法有以下几种： (1)利用行列式的性质将行列式某一行（列）只保留一个非零元素，其余元素 化为零，然后按该行（列）展开，通过降阶计算行列式的值。 (2)利用行列式的性质将行列式化为上（下）三角行列式，其结果为对角线上 元素的连乘积 (3)把行列式拆成几个行列式之和，再降阶求行列式的值， (4)找递推公式.对于n阶行列式D。,若不能直接利用行列式的性质求出行 列式的值，可建立D,与D,(i<n)的关系式，再由这个关系式解出所求的行列式 D. (5)升阶法（加边法）.通过增加行列式D,的一行和一列后，对高一阶行列式 借助某种特殊的行列式求解. (6)数学归纳法. 6.克拉默法则 对于含有？个未知量”个方程的线性方程组 ax1十a1g2十.+a1xn=h, anx1十a2x十.十a2xm=b ax十a2x十.十anxm=bn 若其系数行列式D≠0，则该线性方程组有唯一解
6 线性代数学习指导 -D (G=1,2,.,n) 其中D,是把系数行列式D中第j列元素用常数项b1,b2,.,b代替后所得到的n 阶行列式，即 a.a-ba+.a D,= au.a2y-1bhag+l.a2 al.any-ba an+H.am 若线性方程组的常数项b1=2=.=b.=0,即 [a1x1+a12x+.+a1xw=0, a1x1十a2x2十.十a2xw=0, 年年年年 a1x1+am2x2+.十amx。=0, 称该线性方程组为齐次线性方程组，若系数行列式D≠0，则齐次线性方程组仅有 零解 x1=x2=.=x=0, 因此齐次线性方程组有非零解的充要条件是该方程组的系数行列式为零，即D=Q,. 三、典型例题解析 例1证明在一个n阶行列式中，如果等于零的元素个数大于2一n,那么这 个行列式等于零. 证因为n阶行列式中共有n2个元素，若等于零的个数大于n2一n,则不等于 零的元素的个数小于n,因此行列式中至少有一行元素全为零，则该”阶行列式 为零 例2写出四阶行列式中所有带负号且包含因子aa的项 解四阶行列式中所有包含aa的项 (-1)h3hh'ain axsasn ain, 其中p,pp,取1,2,4三个数中的一个，即p,3p1p,的可能排法有6种：1324， 1342,2314,2341,4321,4312,且x(1324)=1,x(2341)=3,x(4312)=5为奇排列. 故四阶行列式中所有带负号且包含因子a的项为 -ananasau. -andzanae. 例3设行列式 130 40 D 2222 0-700 53-22
第1章行列式 7 求行列式第4行各元素余子式之和M1十Me十M十M:. 分析这是考察基本概念的题目，知道余子式的概念就不难写出M,M2, M:,M,的值.从而求出其和，另一方面也可利用行列式展开定理来解决 解解法一 040 340 Mn= 222=-56,M2=222=0, -700 000 1300 304 M=222=42,M:=222=-14 0-70 0-70 所以 M1+M2+Mg+M:=-28. 解法二由于 2-1rM,=2A=D, 所以构造4阶行列式 3040 H- 2222 0-700 -11-11 H的前3行与行列式D的前3行相同，因此H的第4行各元素的余子式与D的 第4行各元素的余子式相同.所求H的第4行元素的余子式之和即为D的第4行 元素的余子式之和.按H的第4行展开，得 H=-An+A2-Au+Au =(-1)(-1)M:+(-1)2M2+(-1)(-1)+Mg+(-1)HM Ma +Mi +Mus +Mu. 而 340 H=7222=-28. -1-11 所以M1+M2+M:+M.=-28