中国矿业大学：《数值分析》课程教学课件（讲稿，研究生）第七章 非线性方程（组）的数值解法

证明 1)收敛性1xh -x* I-1 p(xk-1)- (x)/ =I g'()1-/ xk-1 -x*I≤ LIxk-1-x*I<... ≤ Lk / xo -x*/→02)误差估计式x* 1Ixk -x* /<lixk-1 -x* - l[ixk-Xk +Xk≤l[Ixk -x I+Ixk -Xk-11]L飞=[xk-x Xk -Xk-1 l1-L[xk - xk-1 / = (xk-1)-(Xk-2) I≤L/xk-1 -xk-2 / ≤ ≤ Lk-1 / x1 - x0 lLk代入上式结论得：Ixk-x /xi -xoI1- L3)若lβ(x) 1, 则1xk+1 -x 1=I 0(xh)-0(x)/=10(5)1 xh -x*[2xk - x*所以发散

|  | * xk x | | *  L xk1  x 证明 1)收敛性 | ( ) ( )| *  xk1  x | ( )| | | *     xk1  x   | | * L x0 x k    0 2)误差估计式 | | * xk  x | | 1 | | 1 *     k   xk xk L L x x | | xk  xk1 | | 1 | | 1 0 * x x L L x x k k   代入上式结论得：   [| | | |] 1 *  L xk  x  xk  xk | | *  L xk1  x | ( ) ( )|   xk1  xk2 | |  L xk1  xk2  | | 1 0 1 L x x k   [| |] *  L xk1  xk  xk  x 3)若 |(x)| 1，则 | | * xk1  x 所以发散。 | ( ) ( )| *   xk  x | ( )| | | *     xk  x | | *  xk  x

注：1、收敛快慢与L的大小有关：L越小，收敛越快；L越大,收敛越慢2、事后误差估计：Lx-x≤-Xk - Xk-11-L事先误差估计：Lk1 xk -x <xi -xo3、程序终止条件：Xk-xk-1l<8

注: 1、收敛快慢与L的大小有关: 2、事后误差估计： 1 * 1     k  xk xk L L x x L越小,收敛越快;L越大,收敛越慢 事先误差估计： | | 1 | | 1 0 * x x L L x x k k     3、程序终止条件：    k k1 x x

局部收敛性）定理2设x 是x =Φ(x)的根，Φ(x)在x 连续且lβ'(x )k1则存在x*的某邻域U(x),使Vxo = U(x),迭代xk+1 =(xk)都收敛证明：@'(x)在x 连续:. 3S > 0,0<L<1,当xeU(x,S)时,I@(x)<≤ L<1.. 对VxeU(x ,S),有I p(x) - x |= (x) - p(x) /≤ L/x - x*/<| x-x*即Φ() EU(x ,S)：由定理1可知结论成立

. ( ), ( ), ( ) ( ) ( ) | ( )| 1, 1 * 0 * * * * * 都收敛 则存在 的某邻域 使 迭 代 设 是 的根， 在 连续且 k k x U x x U x x x x x x x x x             定理2 （局部收敛性） (x)在x *连续   0,0  L  1,当x U(x * , )时，|(x)| L  1 证明 对x U(x * , ),有 | ( ) | *  x  x | | * | ( ) ( )|  x  x *   x  x | | *  L x  x ( ) ( , ). * 即 x U x  由定理1可知结论成立

例2 讨论例1中求 x3－x2-1=0 各方法的敛散性总方案1: ×k+1 =(1 + x)1/3: p(x) = (1 + x2)1/32x:1 @(x) =[3(1 + x2)2/3又 : x E [1.3,1.6]1.6:1 p(x)<2x[3(1 + 1.3)2/3 ~ 0.5515 <1·迭代收敛

例2 讨论例1中求 1 0 各方法的敛散性 3 2 x  x   方案1: 2 1/ 3 1 (1 ) xk   xk (x)  |(x)|  迭代收敛 2 1/ 3 (1  x ) 2 2/ 3 3(1 ) 2 x x  2/ 3 [3(1 1.3)] 1.6 2    0.5515  1 又  x [1.3,1.6] |(x)|