区方案2: x3 -x2-1= 0取xo =1.3,计算结果为:台x3 = x2 +11k格式2格式3ox=l+211.1.59171.8257选代格式：×k+1=1+Xk21.39471.0047区方案3: x3-x2-1=031.51493.1549台 x(x-1)=141.43620.68121心←x=V(x-1)131.46531送代格式：Xk+1(xh - 1)/2
1 1/ 2 ( 1) 1 k k x x 迭代格式： 1 0 3 2 x x 1 3 2 x x 2 1 1 x x 1 2 1 1 k k x x 方案2: 迭代格式： 1 0 3 2 x x ( 1) 1 2 x x ( 1) 1 x x 方案3: 取x0 1.3,计算结果为： k 格式2 格式3 1 1.5917 1.8257 2 1.3947 1.0047 3 1.5149 3.1549 4 1.4362 0.6812 13 1.4653
四几何意义y=x求r=p(x)的根 求交点的横坐标y = (x)Wx)1Yy=xP(x1)=(x)p(xo)PxP(x)-0--0XXXoX2XiXiX2Xox收敛情形发散情形
四 几何意义 收敛情形 发散情形 求x (x)的根 . ( ) 求 交点的横坐标 y x y x
五收敛条件和误差估计定理1(P156,不动点存在唯一一定理)设β(x)在[a,bl上存在且满足:(1)对Vx =[a,b],有a≤p(x)≤b,(2)3L: 0 ≤ L<1,对Vx E [a,b]有β'(x) ≤ L则p在[a,b]上存在唯一不动点x (x*=β(x*)证明:1)存在性令f(x)=x-β(x), 则由β'(α)存在知f(x)E C[a,b)由(1): f(a) = a-(a) ≤ 0, f(b)=b-(b)≥ 0即x* = p(x)..:. 3x*,使f(x) = 0,2)唯一性 设x =(x)有另一根α,即α=(α), 则x -α =(x )-(α)/=()l:x -α)≤Llx -α<x -αl.. x*= α
五 收敛条件和误差估计 (2) : 0 1, , ( ) . (1) , , ( ) , ( ) , : L L x a b x L x a b a x b x a b 对 有 对 有 设 在 上存在且满足 定理1(P156, ) 不动点存在唯一定理 [ , ] ( ( )). * * * 则在 a b 上存在唯一不动点x x x 证明:1)存在性 令f (x) x (x)，则由(x)存在知f (x)C[a,b] 由(1): f (a) a (a) 0, f (b) b (b) 0 , * x 使f (x * ) 0， ( ). * * 即x x 2)唯一性 设x (x)有另一根，即 ()，则 | | * x | ( ) ( )| * x | ( )| | | * x | | * L x | | * x * x
对定理条件的理解：条件l:Vx e[a,bl,有a≤p(x)≤b，保证解的存在性:条件2：β(x)≤L1- Vx, ye[a,b],cp (b)[β(x) -β(y) I-l @'() / :/ x- y / Φ (b)≤llx-yl(a)Φ(a)即β为压缩映射。国L：压缩因子aabxb
a b φ (a) φ (b) a b φ (b) φ (a) 对定理条件的理解： 条件1 :x a,b,有a (x) b，保证解的存在性； 条件2 : (x) L x, y [a,b], |(x) ( y)| |( )| | x y | L | x y | 即为压缩映射。 L：压缩因子
定理 迭代的收敛性及误差估计设@(x)在la,bl上存在且满足(1)对Vx =[a,b],有a≤p(x)≤b,(2)3L : 0 ≤ L <1,对Vx =[a,b]有g'(x) ≤ L则对Vxo =[a,b],选代xk+1 = p(x)收敛于p的唯一不动点x，且有如下误差估计式1KIxk-xXk - Xk-1Ixk -x<xi -xo反之，若对Vx (a,b)有/@(x)≥1，则迭代发散
定理 迭代的收敛性及误差估计 (2) : 0 1, , ( ) . (1) , , ( ) , ( ) , : L L x a b x L x a b a x b x a b 对 有 对 有 设 在 上存在且满足 不动点 ，且有如下误差估计式： 则 对 迭 代 收敛于 的唯一 * 0 1 , , ( ) x x a b xk xk | | 1 | | 1 * k xk xk L L x x 反之，若对x (a,b)有 |(x)| 1，则迭代发散. | | 1 | | 1 0 * x x L L x x k k