第、章 空间解析几何与向量代数 §8一1向量及其钱性适算 空间直角坐标系的概念：（见P6的定义） 空间直角坐标系共有八个卦限 王灵下列区回 空间中的任一点M←一有序数组(x,y,z) x,y,z分别称为点M的横，纵，竖坐标。 空间直角坐标系把空间分为八个部分一一称为八卦限。（说明) 点在各卦限的符号为：
第八章 空间解析几何与向量代数 §8—1 向量及其线性运算 一． 空 间 直 角 坐 标 系 的 概 念 ：（ 见 P6 的 定 义 ） Ⅶ x o y z xoy面 yoz面 zox面 空间直角坐标系共有八个卦限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅷ 空间中的任一点 M ⎯⎯→ 1 1 −− 有序数组（x,y,z） x,y,z 分别称为点 M 的横，纵，竖坐标。 空间直角坐标系把空间分为八个部分-称为八卦限。（说明） 点在各卦限的符号为：
卦限（一）Ⅱ（二） .VⅢ（八） （x,y,z)（+,+,+)(-,+,+) . (+,-) 两点距离公式： (数轴上) (平面中) d-x上飞-x d=MM=Vx-x)了+-) dM,M2=Vx2-x)+02-y)2+(52-)月 (空间中) 定比分点公式： 设A(y,）分两点4k,:)为定比：即：4=元，则分点公式 AA、 为 x=考+ y=当+ (中点) 1+元 y=当+ 2 二、向量的概念 1.向量的定义-既有大小，又有方向的量。如：力、速度、 加速度。 2.向量的表示法-一用有向线段表示：ā=4B或坐标表示： a=(a,a2,a3）。 3.向量的模-向量的大小；记为d。 4. 单位向量模为1的向量
卦限 I （一） II（二） . VIII（八） （x,y,z） （+，+，+） （-，+，+） . （+，-，-） 两点距离公式： （数轴上） （平面中） d= ( ) 2 2 1 2 1 | | x x x x − = − d= ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 2 1 | | M M x x y y = − + − d= M1M2 = 2 2 1 2 2 1 2 2 1 (x − x ) + ( y − y ) + (z − z ) （空间中） 定比分点公式： 设 A（x,y,z）分两点 ( , ) i i i, i A x y z 为定比 ；即： 1 2 AA AA = ，则分点公式 为： 1 2 1 2 1 2 1 1 1 x x x y y y z z z + = + + = + + = + （中点） 1 2 1 2 1 2 2 2 2 x x x y y y z z z + = + = + = 二、 向量的概念 1． 向量的定义-既有大小，又有方向的量。如：力、速度、 加速度。 2． 向量的表示法-用有向线段表示： a AB = 或坐标表示： a a a a = ( 1 2 3 , , )。 3． 向量的模-向量的大小； 记为：a 。 4． 单位向量-模为 1 的向量
5.零向量一模为零的向量；记为0。 6.负向量模相等方向相反的向量；的负向量记为-ā。 7.相等的向量-模相等方向相同的向量ā，6：记为a=b。 8.平行（共线）向量-方向相同或相反的向量a,记为a6 三、向量的线性运算 1.向量的加减法 1).向量的加法一一三角形法则，平行四边形法则（如图） a-b 运算律：a+b=i+a a+(6+c=(a+b+c 2).减法—定义：a-i=a+(-b(如图) 且任一向量有a-a=0a+i=a 0-a=-d 2.向量与数量的乘积 1)、定义：数量1与a的乘积定义为一个向量1a。且 1°a=|2a 2°a平行a（2>0时，同向；1<0时，反向；1=0时
5． 零向量-模为零的向量；记为 0。 6． 负向量-模相等方向相反的向量； a a 的负向量记为− 。 7． 相等的向量-模相等方向相同的向量 a b a b , ;记为 = 。 8． 平行（共线）向量-方向相同或相反的向量 a b a b , ; // 记为 。 三、向量的线性运算 1．向量的加减法 1）．向量的加法——三角形法则，平行四边形法则 （如图） 运算律： a + b = b + a a + (b + c) = (a + b) + c 2）．减法——定义： a −b = a + (−b) （如图） 且任一向量有 a − a = 0 a + 0 = a 0 − a = −a 2. 向量与数量的乘积 1）、定义：数量 与 a 的乘积定义为一个向量 a 。且 1 a = a 2 a 平行 a （ 0 时，同向； 0 时，反向； = 0 时， a b a b − a b +
a=0) 2)、性质1°a平行6（平行、共线）一a=6（1≠0) 2°a=a 3°2ka)=(k)a 41(a+b)=aa+6 S任一非零向量a都可以表示为：aal口哥- （与a同向的单位量ā 可a=cosa,csR,os) 1 (向量的模与方向a分开，给向量的研究带来方便) 例1)：证明：任一个三角形的中线可构成一个三角形。 四、向量线性运算的坐标表达 L.向量在轴上的投影 1) 、两个向量的夹角一
a =0 ） 2）、性质 1 a 平行 b （平行、共线） a =b （ 0) 2 a =a 3 (ka)=(k)a 4 (a b a b + = + ) 5 任一非零向量 a 都可以表示为： （与 a 同向的单位量 a 0= {cos ,cos ,cos } | | 1 a = a ） （向量的模与方向 a 分开，给向量的研究带来方便） 例 1）：证明：任一个三角形的中线可构成一个三角形。 四 、向量线性运算的坐标表达 1. 向量在轴上的投影 1） 、两个向量的夹角 a 1 2 − a 2a b 0 a a a =| | 0 . | | a a a = a
-两个向量a,万不超过π的夹角p。 2)、投影的定义以及投影的原理： 向量AB在轴1上的投影定义且记为 pri,(AB)=AB=4BIcos 并且Prj,(@,+2++a)=Prj,(a)+.+Prj,(@n) 2.向量的坐标表达式 给出空间一个点M,(x,以，)则向量OM在三个坐标轴上的投影分别 为x,y, 此时向量OM的坐标表达式为： OM=x,y,（或OM=(x,y))x,y:称作OM的坐标 OM的分解表示为：OM=xi+yj+zk 其中i={1,0,0,j={0,1,0,={0,0,1}称为m,y,o轴上的基本单 位向量
-两个向量 a b, 不超过 的夹角 。 2） 、 投 影 的 定 义 以 及 投 影 的 原 理 ： l 向量 AB 在轴 l 上的投影定义且记为 prj AB l ( ) = ' ' A B AB =| | cos 并且 Pr ( ) Pr ( ) Pr ( ) l 1 2 n l 1 l n j j j + + + = + + 2. 向量的坐标表达式 给出空间一个点 ( , , ) 0 x y z 则向量 OM 在三个坐标轴上的投影分别 为 x, y,z ； 此时向量 OM 的坐标表达式为： OM ={x, y,z} （或 OM =( x y z , , ) ） x, y,z 称作 OM 的坐标 OM 的分解表示为： OM = xi y j zk + + 其中 i j k = = = 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 称为 ox oy oz , , 轴上的基本单 位向量。 A B A B