第四章不定积分 §4-1不定积分的橇念与性质 (Concept and propoties of indefinite integral) (应用上) 引言：微分学给出一个 知：距离，求速度 知：总量，求变化率 求f(x)和dx) 积分学给出一个求F风 知：速度，求距离 使F(x)=f(x) 知：变化率，求总量 引例：知火车进站时的速度为V0=1-,(公里/分)，问火车应在离站多远 的地方开始减速？(s=1.5公里) (一)原函数与不定积分的概念 1、原函数的定义：若F'(x)=fx),x∈I,则称F)是fx)（xeI) 的一个原函数 (举例) 且若fx)连续，则一定存在原函数Fx),且存在无穷多个原函数， 均表示为Fx+c 2、不定积分的定义： 若F'(x)尸x,则F(x)e称为fx)的不定积分，记为xdx, 即∫x=F+c, (简述有关记号，符号) (举例) 3、 不定积分的几何意义「xx=F(x)+c一表示一簇平行曲线
1 第四章 不 定 积 分 §4-1 不定积分的概念与性质 (Concept and propoties of indefinite integral) 引言： f ( ) df(x) f(x), 求 ' 和 给出一个 微分学 x 积分学 ( ) = ( ) f(x), F(x), ' 使F x f x 给出一个 求 引例：知火车进站时的速度为 t 3 1 V(t) = 1- (公里/分)，问火车应在离站多远 的地方开始减速？（s=1.5 公里） （一） 原函数与不定积分的概念 1、 原函数的定义：若 F ‘ (x)=f(x), x I ，则称 F(x)是 f(x)（ x I ） 的一个原函数. （举例） 且若 f(x)连续，则一定存在原函数 F(x)，且存在无穷多个原函数， 均表示为 F(x)+c 2、 不定积分的定义： 若 F ‘ (x)=f(x), 则 F（x）+c 称为 f(x) 的不定积分，记为 f(x)dx ， 即 f(x)dx = F(x) + c ，（简述有关记号，符号） （举例） 3、 不定积分的几何意义 f(x)dx = F(x) + c -表示一簇平行曲线。 （应用上） 知：距离，求速度 知：总量，求变化率 知：速度，求距离 知：变化率，求总量
(二)积分基本公式 1、0dx=c 2、k=kx+c n中"+n不为-)4、=hlx+c 1 3、∫xdk 5.fa'dsmave 6、「e*dx-e*+c 7、∫cosxdx=si+c 8、∫simd=-cosx+c 头j小2h-女=me10、joe达=女-om和 11 [secxtanxdx=secx+c 12 [cscxcotxdx=-cscx+c 1B、∫字本=m+c(或-aos+c） 14、jh=artn+a-r+ l5、「tanxdx=-Lncosx+c 6、「cotxdx=Ln小sin+c 17、∫shxdx=chr+c 18、「chrd=shr+c。 (三)、不定积分的性质 1、积分与微分的关系： (fx)dx)=f(x) [f(x)dx =f(x)+c d([fx)dx)=f(x)d ∫dx=x+c 2、积分的运算性质： [kfx)dx =k[f(xx J[E,(s±fdk=Jf(x)±Jf(x) 3、 积分的形式与积分变量选择无关 若[xdx=F(x+c 则「f(u)u=F(叫+c。(举例说明) 例子： 2、「Nx√x√Fdk 3.∫smx-eos2xh
2 （二） 积分基本公式 1、 0dx = c 2、 kdx = kx + c 3、 ( 1) 1 1 x dx n 1 + − + = + x c n不为 n n 4、 dx ln | x | c x 1 = + 5、 c a a x = + ln a dx x 6、 e c x = + e dx x 7、 cosxdx = sinx + c 8、 = − x + c sinxdx cos 9、 2 2 1 sec tan cos xdx dx x c x = = + 10、 2 2 1 csc cot sin xdx dx x x = = − +c 11、 sec tan sec x xdx x c = + 12、 csc cot csc x xdx x c = − + 13、 = + − dx x c x arcsin 1 1 2 （或 − + arccos x c ） 14、 2 1 arctan ( cot ) 1 dx x c arc x c x = + − + + 或 15、 tan cos xdx Ln x c = − + 16、 cot sin xdx Ln x c = + 17、 shxdx = chx + c 18、 chxdx = shx + c 。 （三）、不定积分的性质 1、积分与微分的关系： ( f(x)dx) = ( ) ' f x = f x + c f (x)dx ( ) ' d( f(x)dx ) = f (x)dx df(x) = f(x) + c 2、 积分的运算性质： k f x dx kf(x)dx = ( ) [f (x) f (x)]dx = f (x)dx f (x)dx 1 2 1 2 3、 积分的形式与积分变量选择无关 若 f(x)dx =F(x)+c 则 f u du F u c ( ) = + ( ) 。（举例说明） 例子： 1、 3 2 5 x x x dx − 2、 x x x dx 3． 2 2 1 sin cos dx x x
4. 5.∫sin24 作业：192-193页-2(15)、(22)、(26)；5。 §4-2不定积分的换元积分法 (Substitution methed of intefinite integral) (一)、第一换元积分法（凑微分法） 若F(仙=fu),u=o(x)可徽 则/几oxp(x(对比积分公式-f(u=F(u+c) aao→∫/[(Hp() 影→∫f(u) 分F(u)+c 问代 a→F[o(J+c (举例) 1)∫(2x+3)3.4xd 2》点女小mmm等 3)jx+2 )∫n本 3
3 4． 2 2 1 x dx x + 5． 2 sin 2 x dx 作业：192-193 页- 2（15）、（22）、（26）；5。 §4-2 不定积分的换元积分法 (Substitution methed of intefinite integral) （一） 、第一换元积分法（凑微分法） 若 ( ) ( ) ' F u = f u , u = (x) 可微 则 f x x dx [ ( )] ( ) ' （对比积分公式- f u du F u c ( ) = + ( ) ） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' x dx d x x u u x f x d x f u du F u c F x c = = = ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ + ⎯⎯⎯→ + 凑微分 换元 积分 回代 （举例） 1） (2x 3) 4xdx 5 2 + 2） (指出） 1 1 2 2 2 dx x x dx x x + + 234 sin , sin , sin , xdx xdx xdx 等 3） + dx 3x 2 1 4） dx a x + 2 2 1
6)ja4 7)∫secxdx指出escxd 8)「sin xcosxdx(3种方法) 引例 9)∫x+1x+2 作业：208页-2(16)、(17)、(24)。 (二) 第二换元积分法（变量代换法） 「f(x)(对x难积分) 盖[o0a →∫g)d（对t易积分) 分》→G)+c gGo'(x刃+c 一般上，若x)含有因子： 1.√amr+b或Ve“+b,则设√一=求积分 2.Va2-x2,则设r=asin减x=acos1求积分 3.√2+x2,则设r=atan或r=acot1求积分 4.√2-a,则设x=asec或r=acsc球积分 (举例) 1 10）2x+
4 5） dx a x − 2 2 1 6） dx x a − 2 2 1 7） sec xdx 指出 csc xdx 8） x xdx sin cos （3 种方法） 引例 9） dx x x +1( + 2) 1 作业：208 页 -2（16）、（17）、（24）。 （二） 第二换元积分法（变量代换法） f x dx ( ) （对 x 难积分） ( ) ( ) ( ) ' x t f t t dt ⎯⎯⎯→ = 换元 ⎯⎯⎯→ g(t)dt (化简) （对 t 易积分） G x c G t c ⎯⎯⎯→ + ⎯⎯⎯→ + − [ ( )] ( ) 1 ( （回代） 积分） 一般上，若 f(x)含有因子： 1． ax + b或 e ax + b,则设 = t求积分 2． a 2 − x 2 ,则设x = asin t或x = a cost求 积分 3. 2 2 a x x a t x a t + = = , tan cot 则设 或 求积分 4. x 2 − a 2 ,则设x = asect或x = acsct求 积分 （举例） 10） dx x 2 + 3 1
11)「Na2-x2 12）∫四种方法》 1=x2+1 x=igl 14)∫血 作业：208页-2(30)、(38)、(41)。 §4-3不定积分的分部积分法 (Integration by parts of intefinite integral) 利用两个函数相乘的微分法则推导出的两个函数相乘或相除的积分法则， 称为分部积分法（或部分积分法） .d(uv)=vdu+udyd(uv)-vdu=udy 即u=d(w）-du,积分得uh=∫d()-∫vdu, 有下列-一一分部积分公式： [wh=w-「dhu
5 11） a x dx − 2 2 12） − (四种方法） 1 1 2 dx x x 13） = = + = + + x tgt t x t x dx x x 1 1 1 2 2 2 14） dx e x 1 1 − 作业：208 页 -2（30）、（38）、（41）。 §4-3 不定积分的分部积分法 (Integration by parts of intefinite integral) 利用两个函数相乘的微分法则推导出的两个函数相乘或相除的积分法则， 称为分部积分法（或部分积分法） ( ) ( ) ( ) , , ( ) d uv vdu udv d uv vdu udv udv d uv vdu udv d uv vdu udv uv vdu = + − = = − = − − − − − − − = − 即 积分得 有下列 分部积分公式: