第五章定积分及其应用 教学目标： 1.理解定积分的定义及几何意义： 2.了解利用定积分的性质比较和估计定积分： 3.掌握定积分的计算方法一牛顿菜布尼兹公式、换元积分法和分部积 分法： 4.学会利用定积分求平面图形的面积。 5.1定积分的概念 5.1.1定积分的定义 【讲解】引例求曲边梯形的面积 所谓曲边梯形是指由曲线y=f(x(f(x)≥O)、直线x=a、直 线x=b以及x轴所围成的图形。下面我们来计算曲边梯形的面积。设 函数y=f(x)在[a,b]上连续。解决的思路是：“分割取近似，求和取 极限。”具体步骤如下： (1)分割 任取分点a=<x<<<x,<<x<x,=b,将区 间[a,b]分成n个子区间[x-1,x]0=1,2,.,m),每个子区间的长 度为△x,=x-x-1(i=1,2,.,n)。 (2)近似 在每一个子区间上任取一点5∈[x1,x,]0=1,2,.,m),作乘积 f(5)△x,第i个小曲边梯形的面积△A,可以近似地表示为 1
1 第五章 定积分及其应用 教学目标 ： 1.理解定积分的定义及几何意义； 2.了解利用定积分的性质比较和估计定积分； 3.掌握定积分的计算方法—牛顿莱布尼兹公式、换元积分法和分部积 分法； 4.学会利用定积分求平面图形的面积。 5.1 定积分的概念 5.1.1 定积分的定义 【讲解】引例 求曲边梯形的面积 所谓曲边梯形是指由曲线 y = f (x)( f (x) 0) 、直线 x = a 、直 线 x = b 以及 x 轴所围成的图形。下面我们来计算曲边梯形的面积。设 函数 y = f (x) 在 [a,b] 上连续。解决的思路是：“分割取近似，求和取 极限。”具体步骤如下： (1) 分割 任取分点 a = x0 x1 x2 xi xn−1 xn = b ，将区 间 [a,b] 分成 n 个子区间 [ , ] i 1 i x x − (i = 1,2, ,n) ，每个子区间的长 度为 i = i − i−1 x x x (i = 1,2, ,n) 。 （2）近似 在每一个子区间上任取一点 [ , ] i i 1 i x x − (i = 1,2, ,n) ，作乘积 i i f ( )x ，第 i 个小曲边梯形的面积 Ai 可以近似地表示为
△4≈f(5)△x(i=1,2,.,n)。 (3)求和 把这些小矩形的面积相加就可以近似地表示曲边梯形面积A,即 A*f5)Ax+f5)-Ax++f5⑤)-Ax++f5)Ax,=∑f5)-Ax (4)取极限 令=maAx,Ax2,Ax,),若当2→0时，∑f5)△x,的 极限存在，则此极限值就是所求曲边梯形的面积，即 A=m∑f5)Ax 0 【结论】曲边梯形的面积是用一个和式的极限表达的。实际上，对于 变速直线运动的路程、变力做功以及变速电流通过导体截面的电量等 问题均可以利用上述方法解决。因此，若抛开它们的实际意义，将上 述和式的极限抽象成数学形式，便得到定积分的概念。 二定积分的定义 【讲解】定义1设函数y=f(x)在[a,b]上有定义，任取分点 a=x0<x1<x2<.<x,<.<xm-l<xn=b, 分割[a,b]为n个小区间[x-,x,],区间长度为 2
2 i i i A f ( )x (i = 1,2, ,n) 。 （3）求和 把这些小矩形的面积相加就可以近似地表示曲边梯形面积 A ，即 = + + + + + = n i i i n n i i A f x f x f x f x f x 1 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) （4）取极限 令 max( , , , ) 1 2 n = x x x ，若当 →0 时， = n i i i f x 1 ( ) 的 极限存在，则此极限值就是所求曲边梯形的面积，即 = → = n i i i A f x 1 0 lim ( ) 【结论】曲边梯形的面积是用一个和式的极限表达的。实际上，对于 变速直线运动的路程、变力做功以及变速电流通过导体截面的电量等 问题均可以利用上述方法解决。因此，若抛开它们的实际意义，将上 述和式的极限抽象成数学形式，便得到定积分的概念。 二 定积分的定义 【讲解】定义 1 设函数 y = f (x) 在 [a,b] 上有定义，任取分点 a = x0 x1 x2 xi xn−1 xn = b ， 分 割 [a,b] 为 n 个 小 区 间 [ , ] i 1 i x x − ，区间长度为
△x,=x,-x1(=1,2,.,n)。在[x,x,】上任取一点5，作和式 三)a·令月=mNA,A,)若当-0时.该 和式的极限存在，则此极限值称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分， 记作广fx)达，即 Cfx)d=m∑fG:)Ax 其中x称为积分变量，f(x)称为被积函数，f(x)dk称为被积表达 式，[a,]称为积分区间，a称为积分上限，b称为积分下限，“∫”称 为积分号。 【讲解】特别指出： (1)定义中，区间是任意分割的，且5是任意取的，因此当极限 巴三《分》：△，存在时，其樱限值与区间分法及5，的取法无关，只 与被积函数和积分区间有关，即fx)本=∫心f)d: (2)由定积分的定义知，fx)k=0,广fx)=-x)。 根据定积分的定义，例1中所求曲边梯形的面积A=「f(x)k。 结合例1和定积分的定义，不难得出定积分的几何意义。 5.1.2定积分的几何意义 【讲解】(1)当fx)≥0时，定积分广f八x)本在几何上表示曲边梯
3 i = i − i−1 x x x (i = 1,2, ,n) 。在 [ , ] i 1 i x x − 上任取一点 i ，作和式 = n i i i f x 1 ( ) 。令 max( , , , ) 1 2 n = x x x ，若当 →0 时，该 和式的极限存在，则此极限值称为函数 f (x) 在区间 [a,b] 上的定积分， 记作 b a f (x)dx ，即 = → = n i i i b a f x dx f x 1 0 ( ) lim ( ) 其中 x 称为积分变量， f (x) 称为被积函数， f (x)dx 称为被积表达 式， [a,b] 称为积分区间， a 称为积分上限， b 称为积分下限，“ ”称 为积分号。 【讲解】特别指出： （1）定义中，区间是任意分割的，且 i 是任意取的，因此当极限 = → n i i i f x 1 0 lim ( ) 存在时，其极限值与区间分法及 i 的取法无关，只 与被积函数和积分区间有关，即 = b a b a f (x)dx f (t)dt ； （2）由定积分的定义知， ( ) = 0 a a f x dx ， = − a b b a f (x)dx f (x)dx 。 根据定积分的定义，例 1 中所求曲边梯形的面积 = b a A f (x)dx 。 结合例 1 和定积分的定义，不难得出定积分的几何意义。 5.1.2 定积分的几何意义 【讲解】（1）当 f (x) 0 时，定积分 b a f (x)dx 在几何上表示曲边梯
形的面积A,即心fx)=A: (2)当f)<0时，定积分广fx)达在几何上表示曲边梯形的面积 的负值，即fx)=-A: (3)一般的，当f(x)在[a,b]上有正 有负时，定积分心f()达在几何上 表示面积的代数和。（如图5.1.3所示） 由定积分的定义以及前面学习的相关知识，我们很容易得到定积分 的七条性质。 5.1.3定积分的性质 【讲解】 1、运算性质： 性质1函数和差的定积分等于它们定积分的和差，即 [Vx)±gx=fx)±g(x)d 性质2被积函数的常数因子可以提到积分号前面，即 fx)=kfx(k为常数) 4
4 形的面积 A ，即 f x dx A b a = ( ) ； （2）当 f (x) 0 时，定积分 b a f (x)dx 在几何上表示曲边梯形的面积 的负值，即 f x dx A b a = − ( ) ； （3）一般的，当 f (x) 在 [a,b] 上有正 有负时，定积分 b a f (x)dx 在几何上 表示面积的代数和。（如图 5.1.3 所示） 由定积分的定义以及前面学习的相关知识，我们很容易得到定积分 的七条性质。 5.1.3 定积分的性质 【讲解】 1、 运算性质： 性质 1 函数和差的定积分等于它们定积分的和差，即 = b a b a b a [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx 性质 2 被积函数的常数因子可以提到积分号前面，即 = b a b a kf(x)dx k f (x)dx （ k 为常数）
2、值的性质： 性质3定积分对于积分区间具有可加性，即 心fx)本=fx)达+广fx)d(c为常数) 性质4若在[a,b]上，fx)=l,则心fx)达=心ldk=k=b-a 3、比较大小： 性质5若在[a,]上，fx)≥gx),则fx)≥gx)k 4、估计数值： 性质6（定积分的估值性）设M与m分别为连续函数f(x)在[a,b] 上的最大值与最小值，则m(b-a)≤f(x)dk≤Mb-a) 性质7（积分中值定理）若f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少 存在一点5，使得 心fx)本=f(5b-a,(a≤5≤b)(如图5.1.5所示) 【板演】例1比较下列各组定积分的大小。 (1)fxdk与x (2)nxt与n2xdk
5 2、 值的性质： 性质 3 定积分对于积分区间具有可加性，即 = + b c c a b a f (x)dx f (x)dx f (x)dx （ c 为常数） 性质 4 若在 [a,b] 上， f (x) 1 ，则 f x dx dx dx b a b a b a b a = = = − ( ) 1 3、 比较大小： 性质 5 若在 [a,b] 上， f (x) g(x) ，则 b a b a f (x)dx g(x)dx 4、 估计数值： 性质 6 （定积分的估值性） 设 M 与 m 分别为连续函数 f (x) 在 [a,b] 上的最大值与最小值，则 m(b a) f (x)dx M(b a) b a − − 性质 7（积分中值定理） 若 f (x) 在 [a,b] 上连续，则在 [a,b] 上至少 存在一点 ，使得 = − b a f (x)dx f ()(b a),(a b) （如图 5.1.5 所示） 【板演】例 1 比较下列各组定积分的大小。 （1） 1 0 2 x dx 与 1 0 3 x dx （2） 4 3 ln xdx 与 4 3 2 ln xdx