第二章微积分的直接基础极限 教学要求 (1)了解数列极限和函数极限的定性描述和定量描述：了解 极限的唯一性.(3课时) (2) 理解无穷小量概念及其性质，理解无穷小量与无穷大量 的关系。掌握极限的运算和两个特殊极限(3课时 (3)理解用极限定义连续函数的概念：掌握连续函数的四则 运算、反函数和复合函数、初等函数连续性。掌握判断 函数的间断点的方法：会利用连续函数求函数的极限： 理解闭区间的连续函数的几个重要定理。(2课时) 教学重点 极限的运算法则和两个重要极限的应用 数学难点 无穷小量的概念：利用连续函数求极限：判断函数的间断点. 第一节数列极限 数列的概念 1引例（芝诺悖论)：一位古希腊学者芝诺(Zenon,公元前496~前429)曾提 出一个著名的追龟”诡辩题.大家知道，乌龟素以动作迟缓著称，阿基里斯则是 古希腊传说中的英雄和擅长跑步的神仙。芝诺断言：阿基里斯与龟赛跑，将永远 追不上乌龟 设阿基里斯的速度是乌龟的十倍，龟在前面10米.当阿基里斯跑了10米时，龟 已前进了1米；当阿基里斯再追1米时，乌龟又前进了0.1米，阿基里斯再追0.1 米，乌龟又进了0.01米.把阿基里斯追赶乌龟的距离列出，便得到一列数： 10,1,0.1,0.01,0.001,102m,.(m∈N) 据论益我腐有变痛备 列数有无穷多个，即阿基里斯在有限时间内永远追不上乌龟。实际上该 2数列的定义：以正整数为自变量的函数y=∫(，n=1,2,3,.时所得到的一列函 数值a=f),4=f2),4=f(3),a=fm,.称为无穷数列，简称数列， 记为{a},称an=fn)为数列的通项 例1：引例中阿基里斯所前进的一系列距离所表示的数就是数列，通项是α，=102" 2482通项为1 例2：111 例3：2,4,8.，2，.；通项为2 例4：-1,1,1,1，.，(1)P;通项为(1)只 例0号若1g通项为4 1
1 第二章 微积分的直接基础-极限 教学要求 （1） 了解数列极限和函数极限的定性描述和定量描述；了解 极限的唯一性；（3 课时） （2） 理解无穷小量概念及其性质，理解无穷小量与无穷大量 的关系。掌握极限的运算和两个特殊极限（3 课时） （3） 理解用极限定义连续函数的概念；掌握连续函数的四则 运算、反函数和复合函数、初等函数连续性。掌握判断 函数的间断点的方法；会利用连续函数求函数的极限； 理解闭区间的连续函数的几个重要定理。（2 课时） 教学重点 极限的运算法则和两个重要极限的应用 教学难点 无穷小量的概念；利用连续函数求极限；判断函数的间断点. 第一节 数列极限 一、 数列的概念 1 引例（芝诺悖论）：一位古希腊学者芝诺（Zenon，公元前 496～前 429）曾提 出一个著名的“追龟”诡辩题. 大家知道，乌龟素以动作迟缓著称，阿基里斯则是 古希腊传说中的英雄和擅长跑步的神仙. 芝诺断言：阿基里斯与龟赛跑，将永远 追不上乌龟！ 设阿基里斯的速度是乌龟的十倍，龟在前面 10 米. 当阿基里斯跑了 10 米时，龟 已前进了 1 米；当阿基里斯再追 1 米时，乌龟又前进了 0.1 米，阿基里斯再追 0.1 米，乌龟又进了 0.01 米.把阿基里斯追赶乌龟的距离列出，便得到一列数： 2-n + 10, 1, 0.1, 0.01, 0.001, , 10 , ( ) " " n N ∈ 因为这一列数有无穷多个，即阿基里斯在有限时间内永远追不上乌龟。实际上该 结论和我们的直觉相悖. 2 数列的定义：以正整数为自变量的函数 y f = (n), n=1, 2, 3,"时所得到的一列函 数值 12 3 (1), (2), (3), , ( ), n a f a f a f a fn == = = " "称为无穷数列，简称数列， 记为{ }n a . 称 ( ) n a fn = 为数列的通项. 例 1：引例中阿基里斯所前进的一系列距离所表示的数就是数列，通项是 2- 10 n n a = . 例 2： 通项为 . 例 3： 通项为 2n . 例 4：-1, 1，-1, 1，.，(-1)n .; 通项为(-1)n 例 5： ; 通项为 . 111 1 , , , ; 248 2 " "n 1 2n 2,4,8, ,2 , ; " "n 3 2 5 4 ( 1) 0, , , , ,1 , 2345 n n − " " + n (-1) 1+ n
数列极限的定性描述 1.引例2：公元前四世纪，庄子在《庄子·天下篇》中的名句“一尺之棰，日截 其半，万世不竭”，我们把逐日取下的棰的长度依次列出来，便得到数列{}， 当n越来越大，通项越来越接近0. 2.定义：如果n无限增大时，数列{a,}的通项a,无限接近于常数a,则称该数 列以a为极限，记做0，=a,或a.→a（→o.此时也称该数列收 敛到a.如果不以任何常数为极限，则称数列发散 数列的收敛或者发散的性质统称为数列的敛散性 3.举例说明 在例1中， 1im102m=0. 阿基里斯追上乌龟所必须跑过的路程为 S=10+1++ 10 =10米) 9 所以，阿基里斯只要坚持跑到11.2米的路程就可以追上乌龟！ 例2中im7=0.例3中m2”=+切 例4中数列0，反复取1和-1，显然是发散的.例5中m1+少 每一项均为常数的数列称为常数列.常数列的极限仍是该常数.如数列{1,1，.} 为常数列，且1iml= 三、 数列极限的定量描述 1提问1：当n无限增大时，a,是否无限接近于某一确定的数值？如何确定？ 在例5中当n无限增大时 &无限接近于1 提问2：“无限接近”意味着什么？如何佣数学语言刻划它？ 考虑两者之间的距离在侧5中：只-小←广川-日 2定义：如果对于任意小的正数6（无论它有多小），总存在相应的正整数N,使 得满足n>N的一切n,能使不等式a。-ak6恒成立，则称数列{a,}以a为极限， 记作ima,=a,或a,→a→o） 数列极限的“e-N”语言描述s>0,3正整数N,当n>W时，恒有1a,-aks成立 3几何解释： 当n>N时，所有的点x都落在点的e邻域即区间(a-6,a+)内， 至多只有有限个(N个)落在其外
2 二、 数列极限的定性描述 1. 引例 2：公元前四世纪，庄子在《庄子·天下篇》中的名句“一尺之棰，日截 其半，万世不竭”. 我们把逐日取下的棰的长度依次列出来，便得到数列 1 { } 2n ， 当 n 越来越大，通项 1 2n 越来越接近 0. 2. 定义：如果 n 无限增大时，数列{ }n a 的通项 n a 无限接近于常数 a，则称该数 列以 a 为极限，记做 或 此时也称该数列收 敛到 a. 如果不以任何常数为极限，则称数列发散. 数列的收敛或者发散的性质统称为数列的敛散性. 3. 举例说明 在例 1 中， 阿基里斯追上乌龟所必须跑过的路程为 所以，阿基里斯只要坚持跑到 11.2 米的路程就可以追上乌龟！ 例 2 中 1 lim 0. 2n n→∞ = 例 3 中 lim 2 + . n n→∞ = ∞ 例 4 中数列 n a 反复取 1 和-1，显然是发散的. 例 5 中 (-1) lim (1 )=1 n n→∞ n + . 每一项均为常数的数列称为常数列. 常数列的极限仍是该常数. 如数列{1,1,.} 为常数列，且 lim1=1 n→∞ . 三、 数列极限的定量描述 1 提问 1：当 n 无限增大时, n a 是否无限接近于某一确定的数值? 如何确定? 在例 5 中 提问 2：“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它? 考虑两者之间的距离. 在例 5 中 . 2 定义：如果对于任意小的正数ε （无论它有多小），总存在相应的正整数 N，使 得满足 n>N 的一切 n, 能使不等式| -| n a a < ε 恒成立, 则称数列{ }n a 以 a 为极限， 记作lim , (n ) n n n aaa a →∞ = → →∞ 或 . 3 几何解释： 1 10 100 ( 1 9 1 1 10 米）. a q == = − − 1 1 10 1 10 100 S = ++ + +" lim a a, n n = →∞ a → a (n → ∞). n 2- lim10 0. n n→∞ = ( 1) , 1 1. n n n a n − 当 无限增大时 无限接近于 = + 1 n ∵ a − = 1 1 1 ( 1)n n n − − = 数列极限的“ ”语言描述 ε − N : 0, , | - | . N nN aa n ∀ε >∃ > < 正整数 当 时，恒有 成立 ε , ( , ), n 当 时 所有的点 都落在点 的 邻域即区间 内 nN x a a a > −+ ε ε ε 至多只有有限个 个 落在其外 () . N
例如在例s中，给定e高由片0只要1>10就有a水日 对于任意给定6>0取N=[日当a>N时，都有a-1K6 说明， (1)定义中的常数：具有二重性：既具有很小正数的固定性，又具有随意小的 任意性. (2)￡是首先给定的，N是由E确定的.常记作N=N(e), 4例题：证明m之=0， 证明：Vc>0.微使-d小<c,脚宁6只要2>2取v=[g 则当时，恒有-即得0
3 1 0, , | -1| . N nN an ε ε ε ⎡ ⎤ >= > < ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 对于任意给定 取 当 时，都有 说明： （1）定义中的常数ε 具有二重性：既具有很小正数的固定性，又具有随意小的 任意性. （2）ε 是首先给定的，N 是由ε 确定的. 常记作 N N= ( ). ε 4 例题： x 2 a 1 a N 1 a + 3 a a N a ε ε x 1 11 1 5 = , , 100, | -1| . 100 100 n n a n n 例如在例 中，给定 由 只要 就有 ε < > < 1 lim 0 . 2n n→∞ 证明 = 2 n 11 1 1 0 , 0 , < 2 > . log , 2 2 1 1 > 0 . lim =0. 2 2 n n n n n N n N ε εε ε ε ε →∞ ∀ ⎡ ⎤ > −< = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − < 证明： 欲使 即 ，只要 取 则当 时，恒有 即证得
第二节函数极限 1到 函数极限的定义与性质 例1.考查函数y=f(x)=x+1,(K∈R)当x无限趋近于常数1（记x→）的变化趋势. 例2考查函数=g)= ,(xeR且x≠I)当x→1时的变化趋势 x-1 当x从x。=1的左右近旁越来越接近于1时，f(x)越来越接近于2，要多接近就 会有多接近.当kx-1无限变小时，f(x)-2也无限变小 例1和例2中函数的区别仅在于在点x,=1处是否有定义，而这一差别并不影响 它们的极限. 2.函数极限的定量描述(x→x。时) (1)定义：设函数fx)在点x,的去心邻域U(x,)内有定义，如果对于任意小 的正数E(不论它有多小)，总存在相应的正数6，使得满足0x-x,k6的一切 x能使f(x)-Akε恒成立，则称函数当x→x,时以A为极限，或称函数f(x)在 x。点有极限，记作 Iimf(=A或f)→A(x→x) 6-6语言描述：6>0,36>0，使当0<x-x<时，恒有(x)-A<c. 说明：1.函数在x,点的极限与x,点是否有定义无关. 是预先给定的，6是由s确定的. (2)几何解释 y=f(x) A+ 当x在U(x,6)时，y=f(x)的图形完全落在 以直线y=A为中心线，宽为2的带型区域内. .-65 七+6 证明：V>0,要使|f(x)-A卡 -2k6成立，即2引x水减1x水号 2x-1 2K2 故。取6宁可知对满足0x水6的-切：能使二-<6成立，得正 2x-11 3.左极限和右极限 (1)定义
4 第二节 函数极限 一、 函数极限的定义与性质 1. 引例 例 1.考查函数 ， 当 无限趋近于常数1 记 的变化趋势 y fx x x R x x = ( ) 1 ( ) ( 1) . =+ ∈ → 例 2. 2 -1 () , ( ) 1 . -1 1 x y gx x x x 考查函数 当 时的变化趋势 == ∈ → R x 且 ≠ 当 x 从 0 x = 1的左右近旁越来越接近于 1 时， f ( ) x 越来越接近于 2，要多接近就 会有多接近. 当 x − 1 无限变小时， f x() 2 − 也无限变小 例 1 和例 2 中函数的区别仅在于在点 0 x = 1处是否有定义，而这一差别并不影响 它们的极限. 2. 函数极限的定量描述（ 时） （1）定义：设函数 f ( ) x 在点 0 x 的去心邻域 0 0 U x( ,) δ 内有定义，如果对于任意小 的正数ε （不论它有多小），总存在相应的正数δ ，使得满足 0 0|- | < x x < δ 的一切 x 能使| ( )- | fx A < ε 恒成立, 则称函数当 0 x x → 时以 A 为极限，或称函数 f ( ) x 在 0 x 点有极限，记作 0 0 lim ( ) ( ) ( ). x x f x A fx Ax x → = 或 → → 0 ε - 0, 0, 0 , ( ) . δ εδ δ ε 语言描述： 使当 时 恒有 ∀> ∃> < − < − < x x fx A 说明：1.函数在 0 x 点的极限与 0 x 点是否有定义无关. 2. ε 是预先给定的，δ 是由ε 确定的. （2）几何解释 当 x 在 0 0 U x( ,) δ 时， y f =( ) x 的图形完全落在 以直线 y=A为中心线，宽为2ε 的带型区域内. (3) 例题 证明：∀ε >0, 要使 2 4 1 | ( )- | 2 2 1 x fx A x ε − = −< − 成立，即 1 1 2| - | | - | . 2 22 x x ε < ε或 < 故，取 = 2 ε δ ，可知对满足 1 0| - | 2 < < x δ 的一切 x 能使 2 4 1 2 2 1 x x ε − − < − 成立，得证. 3. 左极限和右极限 （1）定义 0 x x → y f = ( ) x A− ε A A+ ε x y o ( ) 0 x + δ 0 x −δ 证明 2. 2 1 4 1 lim 2 2 1 = − − → x x x
x从左侧无限趋近xo,记作x→石；x从右侧无限趋近，记作x→x.如果它们的极限 存在的话，前者称为左极限，后者称为右极限记作1imf(x)和Iimf(x) (2)定理 (x)在x点的极限存在的充要条件是左极限和右极限都存在且相等 (即1imf(x)=A台f(x6)=f(x)=A) (3)例题 「1当x>0 讨论符号函数f(x)=sgnx={0当r=0在点x0处的极限不存在 -1当x<0 解：gnx=ml,msgn=m1l.左右极限存在但不相等，所以在 x=0处的极限不存在. 4.自变量趋于无穷大时的极限(x→o). 自变量的绝对值无限增大的情形有以下三种： x→+o,表示x>0,x无限变大，即x沿轴正方向无限变远： x→o,表示x<0,x无限变大，即x沿轴负方向无限变远 x→o,即表示r→+oo又表示r→-o,等价于x→0 说明：(1)1imfx)=的定义：E>0,X>0,使当>X时，恒有f)-A<6 (2)几何解释：当x<-X或x>X时，函数y=f(x图形完全落在以直线y=A为中心线。 花为2的菱登经锅跑对值无限增大时函数x)的极限可能存在也可能不存在， 例：-acm一子can号-0 1im2F=0,1im2=+o.当x→o时，sin的极限不存在 5.函数极限的性质（以x→x,为代表） 定理1（函数极限的唯一性）若函数f(x)在x→x,时极限存在，则极限唯一. 定理2（局部保号性）如果1imf(x)=A>0(或A<0),则存在点x某邻域U(x,), 对一切x∈U(xo,),恒有f(x)>0(或f(x)<0) 定理3非负函数的极限非负.即若f(x)20,且limf(x)=A,那么A≥0. 推论：若f(x)≤gx),且1imf()=A,1img()=B,那么A≤B
5 - 0 0 + 00 00 . lim ( ) lim ( ). , ; , . xx xx fx fx x x x xx x x x → → + 从左侧无限趋近 记作 从右侧无限趋近 记作 如果它们的极限 → → − 存在的话，前者称为左极限，后者称为右极限 记作 和 (2) 定理 0 0 0 0 () . lim ( ) ( ) ( ) x x fx x fx A fx fx A − + → =⇔ = = 在 点的极限存在的充要条件是左极限和右极限都存在且相等 （即 ） (3)例题 讨论符号函数 1 0 ( ) sgn 0 0 1 0 x fx x x x ⎧ > ⎪ == = ⎨ ⎪− < ⎩ 当 当 当 在点 x=0处的极限不存在. 解： 0 0 lim sgn = lim (-1)=-1 x x x → → − − ， + + 0 0 lim sgn = lim 1=1 x x x → → .左右极限存在但不相等，所以在 x=0处的极限不存在. 4. 自变量趋于无穷大时的极限( x → ∞ ). 自变量的绝对值无限增大的情形有以下三种： , 0, , 0, , . x x x xx x x x xx xxx x → +∞ > → −∞ < → ∞ → +∞ → −∞ → ∞ 表示 无限变大，即 沿 轴正方向无限变远； 表示 无限变大，即 沿 轴负方向无限变远. 即表示 又表示 ，等价于 说明：（1）lim ( ) >0, >0, , ( ) . x fx A X X fx A ε x ε →∞ = ∀ ∃ > −< 的定义： 使当 时 恒有 （3）当自变量 x 的绝对值无限增大时函数 f ( ) x 的极限可能存在也可能不存在. 例： - + 1 lim arctan = - , lim arctan = . lim =0. x xx 2 2 x x x π π → ∞ → ∞ →∞ - + lim 2 = 0, lim 2 = + . sin . x x x x x x →∞ → ∞ ∞ →∞ 当 时， 的极限不存在 5. 函数极限的性质(以 0 x → x 为代表) 定理 1（函数极限的唯一性）若函数 f ( ) x 在 0 x x → 时极限存在，则极限唯一. 定理 2（局部保号性）如果 0 0 0 0 lim ( ) 0( 0), ( , ), x x fx A A x U x δ → => < 或 则存在点 某邻域 0 0 对一切 ，恒有 或 x U x fx fx ∈ >< ( , ) ( ) 0( ( ) 0). δ 定理 3 非负函数的极限非负. 即 0 ( ) 0, lim ( ) , 0. x x fx fx A A → 若 且 那么 ≥ =≥ 推论： 0 0 ( ) ( ), lim ( ) , lim ( ) , . xx xx f x gx f x A gx B A B → → 若 且 那么 ≤ = =≤ 2 , () , 2 . x X x X y fx y A ε （ ）几何解释：当 或 时 函数 图形完全落在以直线 为中心线 <− > = = 宽为 的带形区域内