第六章数学棋型 教学目标： 1、学会利用数学的极限知识解决复利、抵押贷款问题： 2、了解基本经济函数及对应的经济意义： 3、学会利用导数知识对经济函数进行边际、弹性分析，并理解其 经济意义： 6.1经济学模型 6.1.1经济的极限棋型 一复利问题 【讲授】复利是计算利息的一种方法。复利是指不仅对本金计算利息， 而且要计算利息的利息。即本期的本金加上利息作为下期计算利息的 基数，俗称“利滚利”。 设A是本金，r是计息期的利率，1是计息期数，A是本利和。 【创建模型】 第一个计息期末的本利和：A=A,1+r） 第二个计息期末的本利和： A=A1+r）+[A1+r乃=A1+r2 第三个计息期末的本利和： A=A,0+r}+A+r}}=A1+r月 第1个计息期末的本利和：A=A,1+r (1)
1 第六章 数学模型 教学目标： 1、学会利用数学的极限知识解决复利、抵押贷款问题； 2、了解基本经济函数及对应的经济意义； 3、学会利用导数知识对经济函数进行边际、弹性分析，并理解其 经济意义； 6.1 经济学模型 6.1.1 经济的极限模型 一 复利问题 【讲授】复利是计算利息的一种方法。复利是指不仅对本金计算利息， 而且要计算利息的利息。即本期的本金加上利息作为下期计算利息的 基数，俗称“利滚利”。 设 A0 是本金， r 是计息期的利率， t 是计息期数， A 是本利和。 【创建模型】 第一个计息期末的本利和： A = A (1+ r) 0 第二个计息期末的本利和： ( ) ( ) ( ) 2 A = A0 1+ r + A0 1+ r r = A0 1+ r 第三个计息期末的本利和： ( ) ( ) ( ) 3 0 2 0 2 A = A0 1+ r + A 1+ r r = A 1+ r . 第 t 个计息期末的本利和： ( ) t A = A 1+ r 0 （1）
【结论】若每期结算m次，则每期的利率为二，可推出第1期末的本 利和为 (2) 【结论】若每期结算次数m→0（即每时每刻结算）时，第1期末的 本利和为 A=Ape" (3) 公式(1)入、(2)称为离散复利公式，公式(3)称为连续复利公式。其 中A称为现值，A称为终值。显然，公式(3)的计算结果比公式(1)、 (2)的计算结果要大些。 【板演】例1先将10000元现金存入银行，年利率1.98%，分别用离 散复利公式和连续复利公式计算10年末的本利和（不扣利息税）。 解将A=10000,r=1.98%,t=10代入公式A=A,(1+r、 A=Ae"中，得 离散复利公式计算结果表示以一年结算一次，10年末的本利和 A=100001+0.0198°≈121.66元 连续复利公式得10年末的本利和 A=10000e0019810≈121.90元 2
2 【结论】若每期结算 m 次，则每期的利率为 m r ，可推出第 t 期末的本 利和为 mt m r A A = 0 1+ （2） 【结论】若每期结算次数 m→ （即每时每刻结算）时，第 t 期末的 本利和为 rt mt m mt m A e m r A m r A A0 0 1 0 lim 1 lim = = + = + → → 即 rt A A e = 0 （3） 公式（1）、（2）称为离散复利公式，公式（3）称为连续复利公式。其 中 A 称为现值， A0 称为终值。显然，公式（3）的计算结果比公式（1）、 （2）的计算结果要大些。 【板演】例 1 先将 10000 元现金存入银行，年利率 1.98%，分别用离 散复利公式和连续复利公式计算 10 年末的本利和（不扣利息税）。 解 将 A0 =10000,r =1.98%,t =10 代 入 公 式 ( ) t A = A 1+ r 0 、 rt A A e = 0 中，得 离散复利公式计算结果表示以一年结算一次，10 年末的本利和 10000(1 0.0198) 121.66 10 A = + 元 连续复利公式得 10 年末的本利和 10000 121.90 0.0198 10 = A e 元
【板演】例2某厂1990年的产值1000万元，2010年末产值翻两番， 利用连续复利公式求每年的平均增长率。 解将A=4000,A。=1000,t=20代入公式A=Ae"中，得 4000=1000e2r三4=e20r→n4=20rhe-20r=2n2→r=6.93% 二抵押贷款问题 【讲授】问题：设某商品房的价值100000元，王某自己积蓄有40000 元，余款需贷款。贷款的月利率1%，需每月还款，25年还清。假如还 不起，房子归债权人银行。分析银行根据什么判断王某具有贷款资格。 分析问题条件：贷款额60000元，月利率r=1%,贷款时间 25×12=300月。每月还x元，yn表示第n个月欠银行的钱。 【创建模型】分析问题过程： %=60000 y=1+r)-x y=y1+r)x=%1+r}-x[+r）+ 为=y01+r-x=%1+月-x1+}+0+）+可 y=y(1+r）-x=%（0+r”-x0+r++(0+r+(+r）+1 %*+少-] 3
3 【板演】例 2 某厂 1990 年的产值 1000 万元，2010 年末产值翻两番， 利用连续复利公式求每年的平均增长率。 解 将 A = 4000, A0 =1000,t = 20 代入公式 rt A A e = 0 中，得 4000 1000 4 ln 4 20 ln 20 2ln 2 6.93% 2 2 0 = e = e = r e r = r = o r r 二 抵押贷款问题 【讲授】问题：设某商品房的价值 100000 元，王某自己积蓄有 40000 元，余款需贷款。贷款的月利率 1%，需每月还款，25 年还清。假如还 不起，房子归债权人银行。分析银行根据什么判断王某具有贷款资格。 分析问题条件：贷款额 60000 元，月利率 r = 1%，贷款时间 2512 = 300 月。每月还 x 元， n y 表示第 n 个月欠银行的钱。 【创建模型】分析问题过程： y0 = 60000 y = y (1+ r)− x 1 0 (1 ) (1 ) (1 ) 1 2 y2 = y1 + r − x = y0 + r − x + r + (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1 3 2 y3 = y2 + r − x = y0 + r − x + r + + r + . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n y y r x y r x r r r x r y r r − − = + − = + − + + + + + + + + − = + +
当贷款还清时，上.=0，得x=+ 1+r”-1 。将6=60000元， 月利率r=1%,贷款时间n=300月代入上式，得x≈631.93元。 结论，只要王某每月不具有631.93的还贷能力银行就不能贷款。 6.1.2常见经济函数 一需求函数与供给函数 【讲解】一个商品在市场上的需求有许多影响因素，其中主要是与 它的价格有关系，价格贵，需求量就少，价格便宜，买的人就多。 需求和价格之间可以把它简化为一种函数关系。我们先不考虑其它 因素，简单地认为价格定了需求量就随之确定，这样需求量就是价 格的函数。供给，就是厂方能够为市场提供多少产品，当然它也是 和价格有关系的，产品价格高，厂方就增加生产，反之供给量就减 少。我们也可以把它简化为一种函数关系。需求量与价格之间的函 数就称为需求函数，供给量与价格之间的函数就称为供给函数。 【板演】如果需求函数和供给函数都是线性函数（一次函数），在 这种关系下，通过讨论看可以得到什么性质。 2=a-bp (a)0.b)0) Q表示需求量，P表示价格，a,b表示常数。（如图6.1.1） S=cp-d (c)0,d)0) S表示供给量，P表示价格，c,d表示常数。（如图6.1.2） 4
4 当贷款还清时， yn = 0 ，得 ( ) (1 ) 1 0 1 + − + = n n r y r r x 。将 y0 = 60000 元， 月利率 r = 1%，贷款时间 n = 300 月代入上式，得 x 631.93 元。 结论，只要王某每月不具有 631.93 的还贷能力银行就不能贷款。 6.1.2 常见经济函数 一 需求函数与供给函数 【讲解】一个商品在市场上的需求有许多影响因素，其中主要是与 它的价格有关系，价格贵，需求量就少，价格便宜，买的人就多。 需求和价格之间可以把它简化为一种函数关系．我们先不考虑其它 因素，简单地认为价格定了需求量就随之确定，这样需求量就是价 格的函数。供给，就是厂方能够为市场提供多少产品，当然它也是 和价格有关系的，产品价格高，厂方就增加生产，反之供给量就减 少。我们也可以把它简化为一种函数关系。需求量与价格之间的函 数就称为需求函数，供给量与价格之间的函数就称为供给函数。 【板演】如果需求函数和供给函数都是线性函数（一次函数），在 这种关系下，通过讨论看可以得到什么性质。 Q = a − bp (a0,b0) Q 表示需求量， p 表示价格， a , b 表示常数。（如图 6.1.1） S = cp − d (c0,d0) S 表示供给量， p 表示价格， c, d 表示常数。（如图 6.1.2）
我们容易理解需求量应随价格的增加而减少。而供给量应随着价格的 增加而增加，且当价格为零时，不会有供给量。 S =cp-a O=a-bp 0 D 图6.1.1 0 6.1.2 从图形上看，需求函数是一条单调下降的直线，供给函数是一条 单调上升的直线。（如图6.1.3） 0 0 Po D 图6.1.3 【讲解】我们把这两条曲线放在同一个坐标系中，就会发现有这样 的关系，两条直线交于一点，这一点的含义是，在价格为P时，产 品的需求量与供给量是相同的，即供需达到了平衡。这一点称为供 需平衡点。价格超过P0时，供过于求：价格低于P0时，供不应求。 在经济分析中，供需平衡点所对应的价格，称为市场均衡价格：它 所对应的需求量或供给量称为市场均衡数量。 【板演】例1某种商品的供给函数和需求函数分别为
5 我们容易理解需求量应随价格的增加而减少。而供给量应随着价格的 增加而增加，且当价格为零时，不会有供给量。 图 6.1.1 图 6.1.2 从图形上看，需求函数是一条单调下降的直线，供给函数是一条 单调上升的直线。（如图 6.1.3） 图 6.1.3 【讲解】我们把这两条曲线放在同一个坐标系中，就会发现有这样 的关系，两条直线交于一点，这一点的含义是，在价格为 0 p 时，产 品的需求量与供给量是相同的，即供需达到了平衡。这一点称为供 需平衡点。 价格超过 0 p 时，供过于求；价格低于 0 p 时，供不应求。 在经济分析中，供需平衡点所对应的价格，称为市场均衡价格；它 所对应的需求量或供给量称为市场均衡数量。 【板演】例 1 某种商品的供给函数和需求函数分别为 Q = a − bp Q 0 p S = cp − d S 0 p 0 Q p S 0 p Q S