第十章重积分 §10-1二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 0曲顶柱体的体积v=一之f优，m△6 1.问题的提出（简述理由） (画图) (2)平面薄片的质量M=m∑p(5,n,)△6， 2.二重积分的定义(134页) 设f(x,)在D域上有界，细分D为几个小区域Aa, (I=1,2,3n)(表示区域及面积)若极限 lm∑f(5,n)Aa,，（(,n)eAo,) 存在，则称该极限值为f(x,y)在D域上的二重积分，记为 ∬f(c,yda,或fcyd 即：∬f(,o=m∑f(5nAa 其中：川一一称为二重积分号，f(xy)一称为被积函 数D-一称为积分区域，do一一称为面积元素
1 第十章 重 积 分 §10-1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 1. 问题的提出 = = → = → n i i i i i n i i i M v f (2) lim ( , ) (1) lim ( , ) 0 1 0 平面薄片的质量 （简述理由） 曲顶柱体的体积 （画图） 2.二重积分的定义（134 页） 设 f(x,y) 在 D 域上有界 , 细 分 D 为几个小区域 i (I=1,2,3.n)(表示区域及面积)若极限 ( ) 0 lim , n i i i i f → ，（ ( i i i , ) ） 存在,则称该极限值为 f(x,y)在 D 域上的二重积分,记为 ( , , , ) ( ) D D f x y d f x y dxdy 或 即: ( , ) D f x y d = ( ) 0 lim , n i i i i f → 其中: -称为二重积分号 ， f(x,y)-称为被积函 数 D-称为积分区域 ， d -称为面积元素
da didy 3.二重积分的几何意义一一曲顶柱体的体积 若f么)>0，则∬f(x,)do在几何上表示以曲面：=f(么)为 顶D域为底的曲顶柱体的积。 (物理意义)平面薄片的质量M=∬p(x,o 二、二重积分的性质：（类似定积分的性质） 1.∬kdo=松k为常数S为D域的面积下同) 当k=1时∬do=s 2.∬f(x,y)do=f(,y)do 玉.∬(c±方xo=rx)do±∬5(x4o 4.若D=DUD,则 ∬f(c,)do=∬f3y)do+∬fs,y)do 5.若f(x,y)≥g(x,y)(x,y)∈D 则「f(x,y)do≥叮g(x,y)do 特别地有-J川lf(x,y)川do川f(xy)do 7.(估值定理)若m≤f(x,y)≤M(x,y)eD 则ms≤∬f(x,y)do≤M6 8.(中值定理)若飞，y在D域上连续则在D内至少存在一点(5,7)， 使得 f(x.y)do=f(s.n)-s 例1)设D域是由x=0,y=0,x+y=2用成，则3dG=. 2
2 d ( === dxdy 直角系） 。 3. 二重积分的几何意义-曲顶柱体的体积 若 f(x,y)>0,则 ( , ) D f x y d 在几何上表示以曲面 z = f(x,y)为 顶 D 域为底的曲顶柱体的积。 (物理意义) 平面薄片的质量 M = ( , ) D x y d 二 、二重积分的性质: (类似定积分的性质) 1. D kd ks = (k 为常数,S 为 D 域的面积,下同) 当 k=1 时 D d s = 2. ( , , ) ( ) D D kf x y d k f x y d = 3. [ , , ] , , 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) D D D f x y f x y d f x y d f x y d = 4. 若 D D D = 1 2 , 则 ( ) ( ) ( ) 1 2 , , , D D D f x y d f x y d f x y d = + 5. 若 f (x, y) g(x, y) (x, y)D 则 ( , , ) ( ) D D f x y d g x y d 特别地有- | , | | , | ( ) ( ) D D f x y d f x y d 7. (估值定理) 若 m f (x, y) M (x, y) D 则 ( , ) D ms f x y d Ms 8. (中值定理) 若 f(x,y) 在 D 域上连续,则在 D 内至少存在一点 (,), 使得 ( , , ) ( ) D f x y d f s = 例 1） 0, 0, 2 3 D D x y x y d = = + = = 设 域是由 围成，则
例2)(137页-4(2) 例3)(137页-5(4) 作业：(137页4(4)；5(1) §10-2二重积分的什算 一、二重积分在直角坐标下的累次积分法 (把一个二重积分化为两次积分来计算的方法，称为累次积分法（或两次 积分法) 1、(矩形域)若积分域D为矩形域：a≤x≤b,C≤y≤d且 (x,y)在D域上连续，则 ∬fx,y)ddy=心dxfx,y)dy=dyfx,y)d (二重) (先y)(二次积分)（先x)(二次积分） 注明：1°f(x,y)dy=F(x,y)=F(x,d)-F(x,c) (x视为常数对y积分)（F=f(x,y) 2°f(x,y)k=p(x,y)北=p(b,y)-p(a,y) (y视为常数对x积分)(x,y)=f(xy) 例1)「(x2+2y)d少（两种次序求） 2)[x In ydxdy
3 例 2）（137 页-4（2）） 例 3）（137 页-5（4）） 作业：（137 页-4（4）；5（1）） §10-2 二 重 积 分 的 计 算 一 、二重积分在直角坐标下的累次积分法 （把一个二重积分化为两次积分来计算的方法，称为累次积分法 （或两次 积分法）） 1、（矩形域）若积分域 D 为矩形域 ： a x b ， c y d 且 f (x, y) 在 D 域上连续，则 = = d c b a b a d c D f (x, y)dxdy dx f (x, y)dy dy f (x, y)dx 或 （二重） （先 y）（二次积分） （先 x）（二次积分） 注明： o 1 f (x, y)dy F(x, y)| F(x,d) F(x,c) d c d c = = − （x 视为常数对 y 积分） ( ( , )) ' F f x y y = o 2 ( , , | , , ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x y dx x y b y a y = = − （y 视为常数对 x 积分） x ( x y f x y , , ) = ( ) 例 1） + 1 2 0 1 2 ( 2 ) y x x y dxdy （两种次序求） 2） y e x x ydxdy 1 0 4 ln
3)[ye"dxdy. 若fx,)=f)6)则 Ⅱ(5)=(()C5))(见154页-3题) D:1≤x≤23≤y≤4。 2、X型域)(D域的边界与垂直于x轴的直线相交不 多于两点的区域) y y=9(x) y=0(x) D y=x） b 若f(x,)在D域：a≤x≤b,g(x)≤y≤%(x)上连续， 则：∬x=fx炒 ≠xd。 3、(Y型域，(D域的边界与垂直于y轴的直线相交不多 于两点的区域)
4 3） 0 1 0 1 y x xy ye dxdy。 若 ( , ) ( ) ( ) 1 2 f x y = f x f y 则 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ( ) )( ( ) ) b d a c a x b c y d f x f y dxdy f x dx f y dy = （见 154 页-3 题） 4） dxdy x y D − 2 ( ) 1 D ： 1 x 2 3 y 4。 2 、(X 型域) （D 域的边界与垂直于 x 轴的直线相交不 多于两点的区域） 若 f x y ( , ) 在 D 域 ： a x b , 1 2 ( x y x ) ( ) 上连续 ， 则： = b a x x D f x y dxdy dx f x y dy ( ) ( ) 2 1 ( , ) ( , ) ( ) ( ) 2 1 ( , ) x x b a dy f x y dx 。 3、( Y 型域) （D 域的边界与垂直于 y 轴的直线相交不多 于两点的区域） 2 y x = ( ) a b D 1 y x = ( ) D b a 2 y x = ( ) 1 y x = ( ) D
x=() xp(y) =(y) r=y) 若fx,)在D域：c≤y≤d,%)sx≤%)上连续 则 /列迹=了r列 注：分别令x=a(常)或y=a(常)观察∫f(a,y)dy 和∫f(x,a)dk,判别哪个积分简单，从而选出恰当的积分 次序。 例5)∬(2y+x)dkd少，其中D域由r=0,y=0,x+y=围成。 6)∬Vx-y dxdy其中： D域是由点o(0,0),4L,),BL,-)为顶点的三角形区域。 7)(143页-例4) 8)交换积分次序求dx[erdy=dy[e"dx 9)（交换积分次序的例子)f(s)=.。 fx,列k= 10)求=以但a其国ga DL010d=2
5 若 f x y ( , ) 在 D 域: c y d ， 1 2 ( y x y ) ( ) 上连续 则 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 , , d y c y D f x y dxdy dy f x y dx = 注：分别令 x = a(常） 或 y = a(常) 观察 f (a, y)dy 和 f (x, a)dx ，判别哪个积分简单，从而选出恰当的积分 次序。 例 5） + D (2y x )dxdy 2 ，其中 D x y x y 域由 = = + = 0, 0, 1围成。 6） − D x y dxdy 2 2 其中： D o A B 域是由点 (0,0), (1,1), (1, 1) − 为顶点的三角形区域。 7) （143 页-例 4） 8） 交换积分次序求 dx e dy dy e dx y y x y = 1 0 0 1 1 0 2 2 9） （交换积分次序的例子） ( ) 1 3 0 , x x dx f x y dy = ( ) 2 2 1 1 0 1 , y y dy f x y dx − − − = 10） ( ) ( ) 1 2 0 1 , x t f x I dx f x e dt x − = = 求 其中 。 11） ( ) | | | | 1 | | | | ? x y x y dxdy + + = 2 x y = ( ) 1 x y = ( )D c d c d 2 x y = ( ) 1 x y = ( ) D