第二章导数和微分 2.1导数的概念 2.1.1导数的定义 一、函数在点x。处的导数的定义 1、【讲述】定义1设函数y=f(x)在点x。的某个邻域内有定义，当自变量x 由点x。改变到点x。+△x(△x≠O)时，函数f(x)取得相应的改变量 △y=fx,+△)-fx)。如果当△r→0时，y的极限存在，即 △r 典是-m+a0）e △x 存在，则称此极限值为函数y=f(x)在点xo处的导数（或在点x0处的微商）， x=0 二、函数导数的定义 1【饼述1过度：若通数f代)在点，处有号数，即巴化+A-f化 △ 极限值存在，我们称函f(x)在点x。处可导，反之称f(x)在点x处不可导。 上面我们介绍了函数在某一点处的导数，如果函数f(x)在某区间(a,b)内每一 点都可导，则称f(x)在区间(a,b)内可导。 2、【板演】例1求函数y=√x在点xo=1处的导数。 解△y=√1+△x-1 1
1 第二章 导数和微分 2．1 导数的概念 2．1．1 导数的定义 一、函数在点 0 x 处的导数的定义 1、【讲述】定义 1 设函数 y = f (x) 在点 0 x 的某个邻域内有定义，当自变量 x 由 点 0 x 改 变 到 点 ( 0) x0 + x x 时，函数 f (x) 取 得 相 应 的 改 变 量 ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x 。如果当 x →0 时， x y 的极限存在，即 x f x x f x x y x x + − = → → ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 (2.1) 存在，则称此极限值为函数 y = f (x) 在点 0 x 处的导数（或在点 0 x 处的微商）， 2、表示：可记作 ( ) 0 f x 或 0 x x y = 或 0 x x dx dy = 或 0 ( ) x x f x dx d = 。 二、函数导数的定义 1、【讲述】过度：若函数 f (x) 在点 0 x 处有导数，即 x f x x f x x + − → ( ) ( ) lim 0 0 0 极限值存在，我们称函 f (x) 在点 0 x 处可导，反之称 f (x) 在点 0 x 处不可导。 上面我们介绍了函数在某一点处的导数，如果函数 f (x) 在某区间 (a,b) 内每一 点都可导，则称 f (x) 在区间 (a,b) 内可导。 2、【板演】例 1 求函数 y = x 在点 x0 = 1 处的导数。 解 y = 1+ x −1
+A-1_+Ar-1XI+AY+1) Ar △x △x(V1+△x+1) △r 1 △x(V1+△x+1)V1+△x+1 1 因此y1a=如+Ax+12 3,【讲述】定义2设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义，若对于区间(a,b) 内任一点x都有一个导数值与之对应，这样就确定了一个新的函数，我们把该函 数称为函数f(x)在区间(a,b)内对x的导函数，简称为导数，记作"(x)或y叫 4、【讲述】由定义1可知，∫'(xo)是函数f(x)在点x0处的导数，也就是导函 数∫'(x)当x=X。时的函数值。于是根据定义2，例1就可以描述为：求函数 y=√天对x的导数y',并求y'在x=1时的值。所以 △y=x+△x-√ y=x+Ar- Ar Ar+Ar+石r+A+F导数为 y-品tE2左 于是，当x=1时，川1=2 5、【例2、3、4由教师指导学生完成】然后学生【板演】 2
2 ( 1 1) 1 1 ( 1 1)( 1 1) + + + − + + = + − = x x x x x x x y 1 1 1 ( 1 1) + + = + + = x x x x 因此 2 1 1 1 1 lim 0 1 = + + = → = x y x x 3、【讲述】定义 2 设函数 y = f (x) 在区间 (a,b) 内有定义，若对于区间 (a,b) 内任一点 x 都有一个导数值与之对应，这样就确定了一个新的函数，我们把该函 数称为函数 f (x) 在区间 (a,b) 内对 x 的导函数，简称为导数，记作 f (x) 或 y 或 dx dy 或 f (x) dx d 。 4、【讲述】由定义 1 可知， ( ) 0 f x 是函数 f (x) 在点 0 x 处的导数，也就是导函 数 f (x) 当 0 x = x 时的函数值。于是根据定义 2，例 1 就可以描述为：求函数 y = x 对 x 的导数 y ，并求 y 在 x =1 时的值。所以 y = x + x − x x x x x x x x x x x x x x y + + = + + = + − = 1 ( ) 导数为 x x x x x y y x x x 2 1 1 ( ) lim lim 0 0 = + + = = = → → 于是，当 x =1 时， 2 1 y x=1 = 。 5、【例 2、3、4 由教师指导学生完成】然后学生【板演】
例2求线性函数y=amr+b(a≠0)的导数. 例3求函数y=x2的导数。 创4求函数y=二的导数。 2.1.2导数的几何意义 一导数的几何意义 1、【作图】把2.1)式中的相关量放入平面直角坐标系中加以分析，如下图所示 【学生观察能力培养】 y↑ y-f(x) x0+A-. f(x0.- 0 x0+△r 图2.1.1 【分析】直线I为曲线f(x)过点A的切线，斜率为k,=ana,割线h交曲线 f(x)于A(xo,f(xo)》、B(xo+△x,f(xo+△x》两点，显然割线h的斜喇 为k:=anB=Ay △x 当△x→0时，点B→点A,xo+△r→x,anB→tana,经过简 单的分析，我们容易得到下面的结果 k=mA=色是=na 【结论】曲线y=f(x)在点x处的导数∫"(x,),就是曲线过该点的切线的 斜率。 3
3 例 2 求线性函数 y = ax + b (a 0) 的导数。 例 3 求函数 2 y = x 的导数。 例 4 求函数 x y 1 = 的导数。 2．1．2 导数的几何意义 一 导数的几何意义 1、【作图】把(2.1)式中的相关量放入平面直角坐标系中加以分析，如下图所示 【学生观察能力培养】 图 2.1.1 【分析】直线 l 为曲线 f (x) 过点 A 的切线，斜率为 kl = tan ，割线 h 交曲线 f (x) 于 ( , ( )) 0 0 A x f x 、 ( , ( )) 0 0 B x + x f x + x 两点，显然割线 h 的斜率 为 x y kh = tan = 。 当 x →0 时，点 B → 点 A ， 0 0 x + x → x ， tan → tan ，经过简 单的分析，我们容易得到下面的结果 tan lim tan 0 = = = → x y k x h 【结论】 曲线 y = f (x) 在点 0 x 处的导数 ( ) 0 f x ，就是曲线过该点的切线的 斜率。 A B 0 x x y 0 y = f (x) l x + x 0 ( ) 0 f x ( ) 0 f x + x x y h
2【板淘】例来y=士在点)处的切货方程法线方混 然上一用的州中记得了=一日 因为y=-1,故所求切线方程为y-1=(-1)x-1),即 x+y-2=0 所技对物y-小事 x-y=0 3、【板演】例6求曲线f(x)=x2上哪一点处切线与直线y=2x+1平行？ 解直线y=2x+1斜率为k=2,故所求切线的斜率也等于2。 根据导数的几何意义f"(x)=(x2y=2x=2,得x=1 所以f()=1故所求点为(1,1). 二左、右导数 1、【定义讲解】设函数y=f(x)在点x。的某邻域内有定义，如果 血区+A-有在，则务之为丽数y=阳在点飞处的左导 数起作)：如果飞+因存在，则路之为商数 y=(x)在点x处的右导数，记作(x)。显然，当函数在一点处的左、右 导数存在且相等时，函数在该点可导。 三可导与连续的关系 1、【定理讲解】如果函数f(x)在点处可导，则它在点x处连续。 需要注意的是，这个定理的逆定理是不成立的，即函数f(x)在点x处连续，但
4 2、【板演】例 5 求 x y 1 = 在点 (1,1) 处的切线方程和法线方程。 解 上一节的例 4 中已求得 2 1 x y = − 因为 y x=1 = −1，故所求切线方程为 y −1 = (−1)(x −1) ，即 x + y − 2 = 0 所求法线方程为 ( 1) 1 1 1 − − y − = − x ，即 x − y = 0 3、【板演】例 6 求曲线 2 f (x) = x 上哪一点处切线与直线 y = 2x +1 平行？ 解 直线 y = 2x +1 斜率为 k = 2，故所求切线的斜率也等于 2 。 根据导数的几何意义 ( ) ( ) 2 2 2 f x = x = x = ，得 x =1 所以 f (1) =1 故所求点为 (1,1) 。 二 左、右导数 1 、【 定 义讲 解 】 设 函 数 y = f (x) 在 点 0 x 的某邻域 内 有 定 义 ， 如 果 x f x x f x x + − → − ( ) ( ) lim 0 0 0 存在，则称之为函数 y = f (x) 在点 0 x 处的左导 数，记作 ( ) 0 f x − ；如果 x f x x f x x + − → + ( ) ( ) lim 0 0 0 存在，则称之为函数 y = f (x) 在点 0 x 处的右导数，记作 ( ) 0 f x + 。显然，当函数在一点处的左、右 导数存在且相等时，函数在该点可导。 三 可导与连续的关系 1、【定理讲解】 如果函数 f (x) 在点 0 x 处可导，则它在点 0 x 处连续。 需要注意的是，这个定理的逆定理是不成立的，即函数 f (x) 在点 0 x 处连续，但
不一定可导。 2【板演)例7设函数y=fx)==仁。之0，这 ,试讨论在点x=0处 的连续性和可导性。 解因为m=m.x=0 lim.=lim 所以，有 im.x=limn/)0 故函数y=-f(x)在点x=0处连续： 而在点x=0处 0=是是=签1 f0-母是 -1 因此f(O)≠f(0),所以f'(0)不存在，即f(x)在点x=0处不可导。 3、【结论】从上面的例子我们更清楚的认识到可导与连续的关系：可导一定连续， 连续不一定可导。 2.1.3基本求导公式 1、【热记】基本求导公式一重点1、2、3、4、5、6 (1)(C)'=0 (2)(x)y=r- (3)(a)y=a'ha(a>0且a≠1) ()(og.(a>Oa xIna (5)(sin x)'=cosx
5 不一定可导。 2、【板演】例 7 设函数 − = = = 0 0 ( ) x x x x y f x x ，试讨论在点 x = 0 处 的连续性和可导性。 解 因为 lim lim 0 0 0 = = → + → + x x x x lim lim 0 0 0 = = → − → − x x x x 所以,有 lim lim (0) 0 0 0 = = = → + → − x x f x x 故函数 y = f (x) 在点 x = 0 处连续； 而在点 x = 0 处 (0) lim lim lim 1 0 0 0 = = = = + → + → + → + x x x x x y f x x x (0) lim lim lim 1 0 0 0 = − − = = = − → − → − → − x x x x x y f x x x 因此 (0) (0) + − f f ，所以 f (0) 不存在，即 f (x) 在点 x = 0 处不可导。 3、【结论】从上面的例子我们更清楚的认识到可导与连续的关系：可导一定连续， 连续不一定可导。 2．1．3 基本求导公式 1、【熟记】基本求导公式—重点 1、2、3、4、5、6 （1） (C) = 0 （2） 1 ( ) − = a a x ax （3） a a a x x ( ) = ln (a 0且a 1) （4） x a e x x a a ln 1 log 1 (log ) = = (a 0且a 1) （5） (sin x) = cos x