(画图分析) 3。向量线性运算的坐标表达 设ā={a,a,a},6=,4,4}则a±i={a±h,a±6，a4±6} ā={a,a2,a,}（1为数量) 给出两点M,(x,y,),i=1,2,则MM={2-x为-片，2-} 五、向量的模与方向余弦的坐标表示法 设任一个向量ā=x,y与x,y:轴的正向夹角为a,B,y(称为方向 角)。而cosa,cosB,cosy称为a的方向余弦，则0≤a,B,y≤π) (模)同=√2+y2+ cosa= Vx2+y2+2 (方向余弦) COs B=- osa.Bys) y coS/= 2+y2+ 与a同向的单位向量为高=acs民小 因此，若已知向量的坐标，则可求出其模和方向余弦，反之，若 知模与方向余弦，则也可求其坐标。 例2)：（例一知某一向量的方向与模，求其坐标） 己知a=(2,-3,6),6=(-1,2,-2),向量c与a+6共线，且1ch3W52,求 的坐标。 作业-13页第15题
（画图分析） 3．向量线性运算的坐标表达 设 { , , }, { , , } a = a1 a2 a3 b = b1 b2 b3 则 a b a b a b a b = 1 1 2 2 3 3 , , { , , } a = a1 a2 a3 （ 为数量） 给出两点 ( , , ) i i i i x y z ，i = 1,2 , 则 M M x x y y z z 1 2 2 1 2 1 2 1 = − − − , , 五 、向量的模与方向余弦的坐标表示法 设任一个向量 a = {x, y,z} 与 x, y,z 轴的正向夹角为 , , （称为方向 角）。而 cos,cos ,cos 称为 a 的方向余弦，则 (0 ,, ) （模） 2 2 2 a x y z = + + （方向余弦） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos cos x x y z y x y z z x y z = + + = + + = + + (0 ,, ) 与 a 同向的单位向量为 a 0= {cos ,cos ,cos } | | 1 a = a 。 因此，若已知向量的坐标，则可求出其模和方向余弦，反之，若 知模与方向余弦，则也可求其坐标。 例 2）：（例一知某一向量的方向与模，求其坐标） 已知 a b = − = − − (2, 3,6 , 1,2, 2 ) ( ) ，向量 c 与 a b + 共线，且 | | 3 32 c = ，求 c 的坐标。 作业-13 页第 15 题
§8-2数量积、向量积和混合积* 二、两个向量的数量积（点积或内积） 1,点积的定义： 设给出向量a与6，且a与6的夹角为e,称同cose为 a与方的数量积，记为a.i,即a.i=园同cos0 2.点积的性质及运算律： 1)a.a= 2)ii=jj=kk=1 3)1.j=j.k=k.i=0 4)a16a.6=0 5)a.b=b.a 6)2(a-6)=(a6 7)a-(6+d=a-b+a-c 3.点积的坐标表示法 设a={a,a2,a}，i=,b2,b} 则a-b=a4+a.h+a6-∑ah 4.几个结论： 由于a-i=abcos=a,4+a,4+a,h因此有： )夹角=云，匠+店+·公+公+ ab+azb2 +asb3 2)a1iea-i=0，即a,b+a,b+a,b=0
§8-2 数量积、向量积和混合积* 一、 两个向量的数量积（点积或内积） 1． 点积的定义： 设给出向量 a 与 b ，且 a 与 b 的夹角为 ，称 a b cos 为 a 与 b 的数量积，记为 a b ，即 a b = a b cos 2． 点积的性质及运算律： 1） a a = 2 a 2） i i j j k k = = =1 3） i j j k k i = = = 0 4） a b a b ⊥ =0 5） a b b a = 6） (a b a b = ) ( ) 7) a b c a b a c + = + ( ) 3. 点积的坐标表示法 设 a = a1 ,a2 ,a3 ，b = b1 ,b2 ,b3 则 3 1 1 2 2 3 3 1 i i i a b a b a b a b a b = = + + = 4．几个结论： 由于 1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b a b = = + + cos 因此有： 1) 夹角 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 1 1 2 2 3 3 , arccos ˆ a a a b b b a b a b a b a b + + • + + + + = = 2) a b a b ⊥ =0 ，即 a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0
3)aM6a=2b即4=元，i=l,2,3 4) p时i:6)-a-6 际何牙 举例1)已知a={12-1以i={2,1-,求a·6及夹角0 2)给出a,i,c,求(a)e. 三、两个向量的向量积（叉积或外积） 1,两向量的向量积定义： 两向量a与6的向量积是一个新向量c,记为axb=c,且 满足 1bx=郎sn8(9为a,6夹角) 2°a×i1a,axi⊥i,且a,i,a×6构成右手法则。 2.单位向量叉积的性质 ixi=jxj=衣xk=0 ixj=kj×k=i kxi=j jxi=-kk×j=-ii×k=- 3.叉积的运算律 1)axa=0 2)axb=-(bxa) 3)2(axb)=(aad×b 4)ax(B+c)=axb+axc b+cxa=bxa+cxa 4.叉积的坐标表示 设a={a,a2,a},i=6,b2,b}则
3） a b a b // = 即 , 1, 2,3 i i a i b = = 4） prj a ( b )= a b a b ( ) a b prj a b = 举例 1） 已知 a = 1,2,−1,b = − 2,1,−1 ，求 a b 及夹角 2) 给出 a,b,c ，求 (a b c ) . 二、 两个向量的向量积（叉积或外积） 1． 两向量的向量积定义： 两向量 a 与 b 的向量积是一个新向量 c ，记为 a b = c ,且 满足 1 o ab = a b sin （ 为 a,b 夹角） 2 o ab ⊥ a ， ab ⊥ b ，且 a,b,ab 构成右手法则。 2． 单位向量叉积的性质 i i = j j = k k = 0 i j = k j k = i k i = j j i = − k k j = −i ik = − j 3． 叉积的运算律： 1） a a = 0 2) ab = −(ba) 3) (ab) = (a)b 4) a b c a b a c + = + ( ) (b + c)a = ba + ca 4． 叉积的坐标表示 设 a = a1 ,a2 ,a3 ，b = b1 ,b2 ,b3 则