新疆大学：《高等数学》课程授课教案（讲义）第五章 不定积分

第五章微分的逆运算问题-不定积分 教学要求()理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的性质，掌 握不定积分的基本公式， 会利用不定积分的运算性质和基 本公式计算不定积分。(2课时) (2)掌握换元积分法，掌握常见的积分技巧，会计算常见的不 定积分，掌握分部积分法，会计算常见的积分。(4课时) 教学重点 原函数和不定积分的概念，换元积分法和分部积分法 教学难点 原函数的概念，换元积分法 引言：数学发展的动力主要来源于社会发展的环境力量。17世纪，微积分 的创立首先是为了解决当时数学面临的四类核心问题中的第四类问题，即求曲 线的长度、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心和引力等等。此类问 题的研究具有久远的历史。例如古希腊人曾用穷竭法求出了某些图形的面积和体 积，我国南北朝时期的祖冲之、祖恒也曾推导出某些图形的面积和体积。而在欧 洲，此类问题的研究兴起于17世纪，先是穷竭法被逐渐修改，后来由于微积分 的创立，彻底改变了解决这一大类问题的方法。由求运动速度曲线的切线和极值 等问题产生了导数和微分，构成了微积分学的微分学部分；由己知速度求路程、 已知切线求曲线以及上述求面积与体积等问题，产生了不定积分和定积分，构成 了微积分学的积分学部分。前面已经介绍已知函数求导数的问题，现在我们要考 虑其反问题：己知导数求其函数，这种由数导数或微分求原来函数的逆运算称为 不定积分 第一节原函数与不定积分 一、原函数与不定积分的概念 1.原函数 定义1设函数F(x)与f(x)在区间I上有定义.若在I上F《x)=f(x),则称 函数F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数. 例如：(sinx片cosx,所以说sinx是cosx的一个原函数.(x2)'=2x,(x2+1)'=2x, 所以说，x和x2+1都是2x的原函数 研究原函数必须解决的两个重要问题： (1)什么条件下，一个函数存在原函数？ (2)如果一个函数存在原函数，那么原函数有多少？ 定理1区间【上的连续函数一定有原函数. 定理2设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则

1 第五章 微分的逆运算问题-不定积分 教学要求 (1) 理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的性质，掌 握不定积分的基本公式，会利用不定积分的运算性质和基 本公式计算不定积分。（2 课时） (2) 掌握换元积分法，掌握常见的积分技巧，会计算常见的不 定积分，掌握分部积分法，会计算常见的积分。(4 课时) 教学重点 原函数和不定积分的概念，换元积分法和分部积分法 教学难点 原函数的概念，换元积分法 引言：数学发展的动力主要来源于社会发展的环境力量。17 世纪，微积分 的创立首先是为了解决当时数学面临的四类核心问题中的第四类问题, 即求曲 线的长度、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心和引力等等。此类问 题的研究具有久远的历史。例如古希腊人曾用穷竭法求出了某些图形的面积和体 积，我国南北朝时期的祖冲之、祖恒也曾推导出某些图形的面积和体积。而在欧 洲，此类问题的研究兴起于 17 世纪, 先是穷竭法被逐渐修改，后来由于微积分 的创立，彻底改变了解决这一大类问题的方法。由求运动速度曲线的切线和极值 等问题产生了导数和微分，构成了微积分学的微分学部分; 由已知速度求路程、 已知切线求曲线以及上述求面积与体积等问题, 产生了不定积分和定积分, 构成 了微积分学的积分学部分。前面已经介绍已知函数求导数的问题, 现在我们要考 虑其反问题: 已知导数求其函数, 这种由数导数或微分求原来函数的逆运算称为 不定积分. 第一节 原函数与不定积分 一、原函数与不定积分的概念 1. 原函数 定义 1 设函数 F x( )与 f ( ) x 在区间 I 上有定义.若在 I 上 F x fx '( ) ( ) = ，则称 函数 F x( )为 f ( ) x 在区间 I 上的一个原函数. 例如：(sin )'= cos x x ，所以说sin x 是cos x的一个原函数. 2 2 ( )' 2 , ( 1)' 2 x = += xx x ， 所以说， 2 2 x 和 都是 x x +1 2 的原函数. 研究原函数必须解决的两个重要问题： ⑴ 什么条件下，一个函数存在原函数？ ⑵ 如果一个函数存在原函数，那么原函数有多少？ 定理 1 区间 I 上的连续函数一定有原函数. 定理 2 设 F x( )是 f ( ) x 在区间 I 上的一个原函数，则

(①)F(x)+C也是f(x)的一个原函数，其中C为任意常数： (2)f(x)的任意两个原函数之间，相差一个常数 说明：()[F(x+C]=[F(x)=fx.(2)[F(x)-G(x)=F(x)-G(x)=0 2.不定积分及其性质 定义2fx)在区间【上的全体原函数称为fx)在I上的不定积分，记作 「f(x)d.其中称「为积分号，f(x)为被积函数，f(x)d为被积表达式，x为积 分变量. 性质1[fx)d]=[Fx)+C]=fx). 性质2∫f(x)d=fx)+C 例题：求下列不定积分 )fx'd;2 解①jh=若+c②停=士+c@=m+c 3.几何意义 若F(x)是f(x)的一个原函数，则称y=F(x)的图象为fx)的一条积分曲线.于 是，函数fx)的不定积分∫fx):在几何上表示fx)的积分曲线族，它可由 的某一条积分曲线y=F(x)沿y轴方向上下平移而得到.显然，曲线族中每一条 积分曲线横坐标相同点处的切线相互平行. 例题设曲线通过点(0,0)，且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的余 弦值，求此曲线。 解设所求曲线为y=x),(xy)为曲线上任一点，由导数的几何意义和题设条件 快-6as5由于mr是cor的一个原函数，所以ox的不定积分是 有 y=∫cos.xdx=sinx+C.代入初始条件x=0,y=0,求得C-0.故经过点(0,0)的积分 曲线为y=sinx 二、基本积分公式 ∫kk=:+C ++C(u*-) =Inlxl+C =品+c 「edk=e+C

2 ⑴ Fx C ( ) + 也是 f ( ) x 的一个原函数，其中 C 为任意常数； ⑵ f ( ) x 的任意两个原函数之间，相差一个常数 说明：(1) [F( )+ '= ( ) ' ( ) x C Fx f x ] [ ] = . (2) [Fx Gx F x G x ( ) - ( ) ' '( ) - '( )=0 ] = 2. 不定积分及其性质 定义 2 f ( ) x 在区间 I 上的全体原函数称为 f ( ) x 在 I 上的不定积分，记作 f () . x dx ∫ 其中称∫ 为积分号， f ( ) x 为被积函数， f ( ) x dx 为被积表达式，x 为积 分变量. 性质 1 f ( ) ( ) ( ). x dx F x C f x [ ] ′ ′ ⎡ ⎤ = += ⎣ ⎦ ∫ 性质 2 f '( ) ( ) . x dx f x C = + ∫ 例题：求下列不定积分 解 （1） (2) (3) 3. 几何意义 若 F x( )是 f ( ) x 的一个原函数，则称 y = F x( )的图象为 f ( ) x 的一条积分曲线.于 是，函数 f ( ) x 的不定积分 f ( ) x dx ∫ 在几何上表示 f ( ) x 的积分曲线族，它可由 的某一条积分曲线 y = F x( )沿 y 轴方向上下平移而得到.显然，曲线族中每一条 积分曲线横坐标相同点处的切线相互平行. 例题 设曲线通过点(0,0)，且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的余 弦值，求此曲线. 解 设所求曲线为 y=f(x)，(x,y)为曲线上任一点，由导数的几何意义和题设条件 有 0 cos , 0. x dy x dx y = ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ = ⎩ 由于 sinx 是 cosx 的一个原函数，所以 cosx 的不定积分是 y xdx x C = =+ cos sin . ∫ 代入初始条件 x=0,y=0,求得 C=0.故经过点(0,0)的积分 曲线为 y = sin x 二、基本积分公式 1 1 x x dx C μ μ μ + = + + ∫ . ln x x a a dx C a = + ∫ x x e dx e C = + ∫ 3 (1) ; x dx ∫ 2 1 (2) ; dx x ∫ 2 1 (3) . 1 dx + x ∫ 4 3 4 x x dx C = + ∫ 2 1 1 dx C x x = − + ∫ 2 1 arctan 1 dx x C x = + + ∫ kdx kx C = + ∫ ( 1) μ ≠ − ln | | dx x C x = + ∫

sinxdx =-cosx+C ∫cosxdx=sinx+C [sec2 xdx =tanx+C [csc2 xdx=-cotx+C [secxtanxdx=secx+C [csc xcotxdx=-cscx+C 三、不定积分的线性运算法则 定理1若函数f(x)和g(x)在区间I上的原函数都存在，则f(x)g(x)在区间I 上的原函数也存在，且fx)±g(x)dk=∫fx)dk±∫g(x) 定理2若函数fx)在区间I上的原函数存在，k为实数(k≠0)，则函数(x) 在区间I上的原函数也存在，且∫时x)=kfx)dk 四、直接积分法 例透：求不定积分j2+e可话血 解：()j(2cosx-e+x-3)dk=2 cosxd-∫ed+xdk-∫3dk=2sinx-e+，x2-3x+C

3 2 1 arctan 1 dx x C x = + + ∫ 2 1 arcsin 1 dx x C x = + − ∫ sin cos xdx x C =− + ∫ cos sin xdx x C = + ∫ 2 sec tan xdx x C = + ∫ 2 csc cot xdx x C = − + ∫ sec tan sec x xdx x C = + ∫ csc cot csc x xdx x C = − + ∫ 三、不定积分的线性运算法则 定理 1 若函数 f ( ) x 和 g x( ) 在区间 I 上的原函数都存在，则 f () () x gx + 在区间 I 上的原函数也存在，且 ( ( ) ( )) ( ) ( ) . f x g x dx f x dx g x dx ±= ± ∫ ∫∫ 定理 2 若函数 f ( ) x 在区间 I 上的原函数存在，k 为实数( 0) k ≠ ，则函数 kf x( ) 在区间 I 上的原函数也存在，且 kf x dx k f x dx () () . = ∫ ∫ 四、直接积分法 例题：求不定积分(1) (2cos - -3) ; x x e x dx + ∫ 2 2 (2) 1+ x dx x ∫ . 解： 1 2 (1) (2cos - -3) =2 cos - + - 3 =2sin - + -3 + . 2 xxx x e x dx xdx e dx xdx dx x e x x C + ∫ ∫ ∫ ∫∫ 2 2 22 2 1+ -1 1 (2) = = 1- = -arctan + . 1+ 1+ 1+ x x dx dx dx x x C xx x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫∫ ∫

第二节换元积分法与分部积分法 回顾：不定积分的概念，性质和积分公式，分析复合函数微分法的逆运算。 能用直接积分法计算的不定积分是十分有限的.本节介绍的换元积分法，是 将复合函数的求导法则反过来用于不定积分，通过适当的变量替换（换元），把某些 不定积分化为基本积分公式表中所列的形式再计算出所求的不定积分. 一、第一换元积分法（凑微分法） 先看一个例子：求不定积分∫2xcos(x2)d (2xcos(x)dx=[(x)'cos(x2)dx=[cos(x2)d(x) 令x2=u,则原积分=-∫cosud=sinu+C,再带回x,得到原积分=sin(r2+C 定理1：设g(u)及p'《x)连续，且F(m=g(w),作变量代换u=p(x)后，有 8lo(x)(xd=g(u)du=F(u)+C=F(x+C. 例题选讲 例1求不定积分∫2x+1)“ 解利用凑微分公式k=。dac+B,所以 ∫2x+1)dk=∫2x+1)(2x+1)k=∫2x+1)d2x+l) 24ly咖-号片+C=2uaex4m+e 翻2求不定分3+2女 解32=3中26+2h -3+2dB+2342xy打血-+c=3+2 2n3+2+c 注：一般情形 ∫/+b创本四+b=LaJu)

4 第二节 换元积分法与分部积分法 回顾：不定积分的概念，性质和积分公式，分析复合函数微分法的逆运算. 能用直接积分法计算的不定积分是十分有限的. 本节介绍的换元积分法,是 将复合函数的求导法则反过来用于不定积分,通过适当的变量替换(换元),把某些 不定积分化为基本积分公式表中所列的形式,再计算出所求的不定积分. 一、第一换元积分法(凑微分法) 先看一个例子：求不定积分 2 2 cos( ) x x dx ∫ 2 2 2 22 2 cos( ) ( )'cos( ) cos( ) ( ) x x dx x x dx x d x = = ∵∫∫ ∫ 令 2 2 x u udu u C x x == + , cos =sin , , =sin( )+C 则原积分 再带回 得到原积分 ∫ 定理 1：设 gu x F u gu u x ( ) '( ) '( ) ( ), ( ) , 及 连续，且 作变量代换 后 有 ϕ = = ϕ g x ′ x dx = g u du = F u +C = F x +C ∫ ∫ [ϕ( )]ϕ ( ) ( ) ( ) [ϕ( )] . 例题选讲 例 1 求不定积分∫ x + dx 10 (2 1) . 解 利用凑微分公式 ( ), 1 d ax b a dx = + 所以 x dx 10 (2 1) ∫ + x x dx ∫ = (2 +1) (2 +1)′ 2 1 10 ∫ = (2 +1) (2 +1) 2 1 10 x d x 2x +1 = u ∫u du 10 2 1 C u = ⋅ + 2 11 1 11 u = 2x +1 (2 1) . 22 1 11 x + + C 例 2 求不定分 . 3 2 1 dx x ∫ + 解 dx x ∫ 3 + 2 1 x dx x (3 2 ) 3 2 1 2 1 ⋅ + ′ + = ∫ (3 2 ) 3 2 1 2 1 d x x + + = ∫ 3 + 2x = u du u ∫ 1 2 1 = ln u + C 2 1 u = 3 + 2x ln 3 2 . 2 1 + x + C 注: 一般情形: f ax b dx ∫ ( + ) ax + b = u ∫ ( ) . 1 f u du a

例3计算不定积分∫xe 解 Swed-iSe(yo-ifedr)gufedu-je+cu=x jo+c 注：一般情形： Sxr)ds u rdu 例4计算不定积分「x-x2d 解-F小-[-可女-0- -+c 注：对变量代换比较熟练后，可省去书写中间变量的换元和回代过程 例5求不定积分∫0+2n. 解∫nn-+3a-打-2n0+2n到 1 l+2hxay∫血=+cu=l+2nl+2n4c 注：一般情形：fnx)二在=fnx)dnx). 例6求不定积分∫ank 解0m-=可黑4 wc. 注：一般情形 J2=2 倒7求不定积分∫。十字血 解原式=后，xP41 a 例8求不定积分[sin2xd

5 例 3 计算不定积分∫ xe dx x 2 . 解 xe dx x ∫ 2 e x dx x ( ) 2 1 2 2 = ′ ∫ ( ) 2 1 2 2 e d x x ∫ = x = u 2 e du u ∫ 2 1 e C u = + 2 1 2 u = x . 2 1 2 e C x + 注: 一般情形: x f x dx ∫ ( ) 2 x = u 2 ∫ ( ) . 2 1 f u du 例 4 计算不定积分 1 . 2 x x dx ∫ − 解 x x dx ∫ − 2 1 x x dx ′ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − ∫ (1 ) 2 1 (1 ) 2 2 1 2 (1 ) (1 ) 2 1 2 2 1 2 = − − x d − x ∫ (1 ) . 3 1 2 3 2 = − − x + C 注: 对变量代换比较熟练后，可省去书写中间变量的换元和回代过程. 例 5 求不定积分∫ + dx x(1 2ln x) 1 . 解 dx x x ∫ (1+ 2ln ) 1 (ln ) 1 2ln 1 d x x ∫ + = (1 2ln ) 1 2ln 1 2 1 d x x + + = ∫ 1+ 2ln x = u du u ∫ 1 2 1 = ln u + C 2 1 u =1+ 2ln x ln 1 2ln . 2 1 + x + C 注: 一般情形: (ln ) (ln ). 1 (ln ) dx f x d x x f x = 例 6 求不定积分 . tan dx x x ∫ 解 (1) dx x x ∫ tan 2 tan x d( x ) ∫ = ( ) cos sin 2 d x x x ∫ = (cos ) cos 1 2 d x x ∫ = − = −2ln cos x + C. 注: 一般情形: dx x f x ∫ 1 ( ) 2 f ( x ) d( x ). ∫ = 例 7 求不定积分 dx a x ∫ +2 2 1 : 解 原式 dx a a x 2 2 1 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⋅ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ∫ a x d a a x 2 1 1 1 arctan ; 1 C a x a = + 例 8 求不定积分∫sin 2xdx