第三章导数与微分 教学要求()理解导数的概念和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程 和法线方程：理解函数的可导与连续性之间的关系：了解高 阶导数的概念 高阶导数 (2课时) ②米提基本初等函数的求导公式，导数的四则运算法则、复 数及隐函数的求导法则。(2课时) (3)理解一元函数微分的概念，理解可微与可导之间的关系，掌握 微分的运算方法，了解微分在近似计算中的应用。(2课时) 教学重点导数的概念及几何意义：导数的四则运算法则、复合函数求导法 则和隐函数求导法：微分的概念 教学难点导数的概念，复合函数、反函数、隐函数求导法则 第一节函数的局部变化率一导数 抽象导数概念的两个现实原型 我们在解决实际问题时，除了需要了解变量之间的函数关系以外，有时还需 要研究变量变化快慢的程度例如物体运动的速度，城市人口增长的速度，国民 经济发展的速度等。其中三类问题导致了微分学的产生： 1:求变速运动的瞬时速度2：求曲线上一点处的切线3：求极大值和极小值 原型】求变速直线运动的瞬时速度 有一质点以O为原点做变速直线运动，用s表示质点运动的路程，s是时间t的 函数，记作s=f),1e0,T可，求。∈0，T门时刻的瞬时速度. 分析：匀速直线运动中=，变速直线运动不能直接用公式，速度的变与不变如 何解决？ 解决步骤：(1)求增量：给。一个增量△1，时间从。变到了1=4，+△1，路程增量 △s=f4)-f()=f(+△)-f) (2)求增量比：当△1很小时，质点在该时间段内的运动可近似的看成匀速运 动，则△内的平均速度 =△s=f,+△)-f6) (3)取极限：当△越来越小，平均速度越来越接近于1，时刻的瞬时速度.于 是△1→0时，平均速度的极限就是瞬时速度，即 %产细名 、f(。+)-f) At
1 第三章 导数与微分 教学要求 (1) 理解导数的概念和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程 和法线方程；理解函数的可导与连续性之间的关系；了解高 阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。（2 课时） (2) 掌握基本初等函数的求导公式，导数的四则运算法则、复合函 数及隐函数的求导法则。（2 课时） (3) 理解一元函数微分的概念，理解可微与可导之间的关系，掌握 微分的运算方法，了解微分在近似计算中的应用。（2 课时） 教学重点 导数的概念及几何意义；导数的四则运算法则、复合函数求导法 则和隐函数求导法；微分的概念 教学难点 导数的概念，复合函数、反函数、隐函数求导法则 第一节 函数的局部变化率——导数 一、 抽象导数概念的两个现实原型 我们在解决实际问题时，除了需要了解变量之间的函数关系以外，有时还需 要研究变量变化快慢的程度.例如物体运动的速度，城市人口增长的速度，国民 经济发展的速度等。其中三类问题导致了微分学的产生： 1：求变速运动的瞬时速度 2：求曲线上一点处的切线 3：求极大值和极小值 原型Ⅰ 求变速直线运动的瞬时速度 有一质点以 O 为原点做变速直线运动，用 s 表示质点运动的路程，s 是时间 t 的 函数，记作s ft t = ∈ ( ), [0,T],求 0t ∈[0,T]时刻的瞬时速度. 分析：匀速直线运动中 = s v T ，变速直线运动不能直接用公式,速度的变与不变如 何解决？ 解决步骤：（1）求增量：给 0t 一个增量Δt ，时间从 0t 变到了tt t 1 0 = +Δ ，路程增量 10 0 0 Δ = = +Δ s ft ft ft t ft ( )- ( ) ( )- ( ). （2）求增量比：当Δt 很小时，质点在该时间段内的运动可近似的看成匀速运 动，则Δt 内的平均速度 0 0 ( )- ( ) = =s f t t ft v t t Δ + Δ Δ Δ . （3）取极限：当Δt 越来越小，平均速度越来越接近于 0t 时刻的瞬时速度. 于 是Δ →t 0 时，平均速度的极限就是瞬时速度,即 0 0 0 t0 t0 t0 ( )- ( ) = lim = lim = lim s f t t ft v v t t Δ→ Δ→ Δ→ Δ + Δ Δ Δ
原型Ⅱ求曲线切线的斜率 M(x,y)和M(x,y)是曲线y=f(x)上两点，它们的 连线是该曲线的一条割线.当点M沿曲线无限接近 于点M,时，割线绕点M,转动，其极限位置M,T就 是曲线在点M。处的切线（图3.1），求曲线在点M。处 切线的斜率。 分析：若)=)的图像为直线。则斜率=然 y=(x)的图像为曲线，如何用直线的斜率来解决？ 和十△r 解决步骤： (1)求增量：给x。一个增量△x,自变量由变到+△x,则 △y寸f(x+△x)-f(x,) (2)求增量比：Ay=f+Ax)f △r △r （》取极限：aa=一是-▣化+a-其中aa受是切线 △ M。T与x轴的夹角 总结：上面两个现实原型的范畴虽不相同，但从纯数学的角度来考察，所要解决 的问题相同：求一个变量相对于另一个相关变量的变化快慢程度，即变化率问题： 处理问题的思想方法相同：矛盾转化的辨证方法：数学结构相同：函数改变量与 自变量改变之比，当自变量改变量趋于零时的极限。由这两个具体问题便可抽 象出导数的概念 二、导数的概念 1.定义：设函数y=f(x)在点x,的某一邻域内有定义，当自变量x在x。处有 增量△x（点x,+△x仍在该邻域内)时，相应地函数有增量Ayf(x+A)-f(), 如果当△→0时，架的樱限存在，则移这个极限值为)y=在点气处的导数， 记作儿，即 儿是+园 (3.1) Ar 也可记作了(G).安或妥 如果极限(3.1)存在，则称函数fx)在点x处可导：如果极限(3.1)不存在， 2
2 原型 II 求曲线切线的斜率 M (, ) x y 和 0 M (, ) x y 是曲线 y = f x( ) 上两点，它们的 连线是该曲线的一条割线.当点 M 沿曲线无限接近 于点M0 时，割线绕点 M0 转动，其极限位置M0 T 就 是曲线在点M0 处的切线（图 3.1），求曲线在点M0 处 切线的斜率. 分析：若 y fx = ( ) 的图像为直线，则斜率 = y k x Δ Δ . y = f x( ) 的图像为曲线，如何用直线的斜率来解决？ 解决步骤： （1） 求 增 量 ： 给 0 x 一个增量 Δx ，自变量由 0 x 变 到 x0+Δx ， 则 = ( )- ( ) 0 0 Δ +Δ y fx x fx （2） 求增量比： 0 0 ( )- ( ) =y f x x fx x x Δ + Δ Δ Δ . （3） 取极限： 0 0 0 0 ( ) () tan lim lim Δ→ Δ→ Δ + Δ − = = x x Δ Δ y f x x f x x x α . 其中 ( ) 2 π α α ≠ 是切线 M0 T 与 x 轴的夹角. 总结：上面两个现实原型的范畴虽不相同，但从纯数学的角度来考察，所要解决 的问题相同：求一个变量相对于另一个相关变量的变化快慢程度，即变化率问题； 处理问题的思想方法相同；矛盾转化的辨证方法；数学结构相同：函数改变量与 自变量改变之比，当自变量改变量趋于零时的极限. 由这两个具体问题便可抽 象出导数的概念。 二、导数的概念 1. 定义： 设函数 y = f x( ) 在点 0 x 的某一邻域内有定义，当自变量 x 在 0 x 处有 增量Δx （点 x0+Δx 仍在该邻域内）时，相应地函数有增量 = ( )- ( ) 0 0 Δy fx x fx + Δ ， 如果当Δ →x 0时， y x Δ Δ 的极限存在，则称这个极限值为 y fx = ( ) 在点 0 x 处的导数， 记作 = 0 ' x x y ，即 0 0 0 0 0 ( )- ( ) ' | = lim = lim x x x x y f x x fx y x x = Δ→ Δ→ Δ + Δ Δ Δ . (3.1) 也可记作 0 f ' ( ) x , = 0 x x dy dx 或 = 0 ( ) x x d f x dx . 如果极限（3.1）存在，则称函数 f ( ) x 在点 0 x 处可导；如果极限（3.1）不存在
则称函数f(x)在点x,处不可导. 注：0.密表示导数的一个整体行号。 (②).导数是平均变化率的极限！导数的力学意义是变速直线运动物体的瞬时 速度：导数的几何意义是曲线切线的斜率。 2.求导数步骤与例题： (1)给x一个增量△x,则函数增量△f(x+A-f(x月 (2)求平均变化率y-f伍+Af): △r 3)）求平均变化幸的极限儿-四是回 △x 例1.求函数f(x)C(常数)在x,点的导数 解：)=+Af_CC-0.即常数的导数为零 △r △r 例2.求函数f(x)=x在点x=2的导数. 解：给x=2一个增量△x,则函数增量为△y=(2+△x)2-2=4△r+(△x)2.平均变化 率为袋4+于是)-是-四4+a=4 Ar 说明：如果函数y=f(x)在区间(a,b)内的每一点处都可导，则称函数y=f(x)在 区间(a,b)内可导，且称f(x)为函数y=fx)的导函数.显然函数y=fx)在点 x,处的导数f(x),就是导函数∫(x)在x处的函数值，即∫(x)=∫(x) 例3.求函数)=在x处的导数. 解：先求导函数。给任意一点x一个增量A,得到A+Axx+A) 11-△x 所以y=巴是-把A子再求处的导数（礼引 -1 例4.求函数y=√F的导数 解：任取一点x∈(0，+o)一个增量△x,得到△y=√+△x-√F 是 1 ArVx+△r+V 所以y=四然=+xG2g 说明：由前面的三个例子发现，幂函数的导数公式(xy=ax(a为任一实数) 3
3 则称函数 f ( ) x 在点 0 x 处不可导. 注：(1). dy dx 表示导数的一个整体符号. (2).导数是平均变化率的极限！导数的力学意义是变速直线运动物体的瞬时 速度；导数的几何意义是曲线切线的斜率. 2. 求导数步骤与例题： （1） 给 0 x 一个增量Δx ，则函数增量 = ( )- ( ) 0 0 Δy fx x fx + Δ ; （2） 求平均变化率 0 0 ( )- ( ) =y f x x fx x x Δ + Δ Δ Δ ; （3） 求平均变化率的极限 0 0 0 0 0 ( )- ( ) ' | = lim = lim x x x x y f x x fx y x x = Δ→ Δ→ Δ + Δ Δ Δ . 例 1. 0 求函数 常数 在 点的导数 fx x ( )=C( ) . 解： 0 0 0 0 ( ) () - ( ) lim = =0 x fx x fx C C f x Δ → x x +Δ − ′ = Δ Δ . 即常数的导数为零. 例 2. 2 求函数 在点 的导数 fx x x ( )= 2 . = 解：给 x = 2一个增量Δx ，则函数增量为 22 2 Δ +Δ = Δ + Δ y=(2 ) -2 4 ( ) . x xx 平均变化 率为 =4+ , y x x Δ Δ Δ 于是 0 0 '(2) lim lim (4 ) 4. x x y f x Δ→ Δ→ x Δ = = +Δ = Δ 说明：如果函数 y = f x( ) 在区间(,) a b 内的每一点处都可导，则称函数 y = f x( ) 在 区间(,) a b 内可导，且称 f '( ) x 为函数 y = f x( ) 的导函数. 显然函数 y = f x( ) 在点 0 x 处的导数 0 f '( ) x ，就是导函数 f '( ) x 在 0 x 处的函数值，即 0 0 '( ) '( ) x x fx fx = = . 例 3.求函数 1 y= x 在 x=1处的导数. 解：先求导函数. 给任意一点 x 一个增量Δx ，得到 11 - = -= . + () x y x x x xx x Δ Δ Δ + Δ . 所以 2 0 0 -1 1 ' lim lim - . ( ) x x y y Δ→ Δ→ x xx x x Δ == = Δ +Δ 再求 x=1处的导数 =1 =1 2 1 ' ( - )| =-1. x x y x = 例 4. 求函数 y= x 的导数. 解：任取一点 x∈ ∞ (0,+ ) 一个增量Δx ，得到Δ Δ y=+- xx x - 1 == . + y x xx x x x x x Δ +Δ Δ Δ + Δ 所以 0 0 1 1 ' lim lim . + 2 x x y y x x xx x Δ→ Δ→ Δ == = Δ + Δ 说明：由前面的三个例子发现，幂函数的导数公式 -1 ( )' ( ) x x α α =α α为任一实数
同理，我们还可以证明 1 3、左导数与右导数 (1)求函数y=fx)在点x。处的导数时，x→x,的方式是任意的。如果x仅从x 之左趋于。，记作x→x,或△r→0，若此时y极限存在，则称该极限值叫 做函数)=在点气的左导数，记作∫-化，即了-（化广是同理有右 号数了，化)广册：，其中△→0广表示从x右侧趋于元 (2)函数在一点处的左、右导数与函数在该点处可导之间的关系 定理：函数y=f(x)在点x,可导的充分必要条件是函数y=(x)在点x,处的左 右导数存在且相等。 例：函数f(x)x在点x,=0处不可导. 解给气=0一个增量△0，则闲应的有左号数了-化广一是-一是= 同强，给6=0一个增量40，相应的右导数为八化广一是一会铝 即f(0)≠(0)，故函数(x)x在点x=0处不可导. 三、函数的连续性与可导的关系 定理：如果函数y=f(x)在点x,处可导，那么y=f(x)在点x处连续. 该定理可可简术为：可导叫连续 说明：1.由可导的定义，变量、极限和无穷小量的关系定理可以证明 △r→0时，y=y'△r+ax→0 2.该定理的逆命题并不成立.如f(x)=x在点x,=0处连续但不可导. 四、高阶导数 因为y-f(x)的导函数f(x)也是x的导数，我们把函数y=f(x)的导数f'(x)的 导数(x)叫做函数的二阶导数，记作y,也可记作 减安其中空县密 二阶导数的力学意义是运动物体的加速度. 二阶导数的导数称为三阶导数。记作"《x)减 dx 设函数y=f(x)的存在n-1阶导数，且-1阶导数可导，那么y=f(x)的n-1阶
4 同理，我们还可以证明 1 1 (sin )' cos . (cos )' -sin . (log )' . (ln )' . ln a x xx x x x x a x = = == 3、左导数与右导数 （1）求函数 y fx = ( ) 在点 0 x 处的导数时， 0 x → x 的方式是任意的。如果 x 仅从 0 x 之左趋于 0 x ，记作 0 x → x -，或 - Δ →x 0 ，若此时 y x Δ Δ 极限存在，则称该极限值叫 做函数 y = f x( ) 在点 0 x 的左导数，记作 0 f ' _ ( ) x ，即 0 - 0 ' _ ( )= limx y f x Δ → x Δ Δ .同理有右 导数 + 0 + 0 ' ( )= limx y f x Δ → x Δ Δ ，其中 + Δ →x 0 表示从 0 x 右侧趋于 0 x . （2）函数在一点处的左、右导数与函数在该点处可导之间的关系 定理：函数 y fx = ( ) 在点 0 x 可导的充分必要条件是函数 y fx = ( ) 在点 0 x 处的左、 右导数存在且相等。 例：函数 f () | | x x = 在点 x0=0 处不可导. 解：给 x0=0 一个增量Δx<0，则相应的有左导数 0 - - 0 0 - ' _ ( )= lim = lim =-1. x x y x f x Δ→ Δ→ x x Δ Δ Δ Δ 同理，给 x0=0 一个增量Δx>0，相应的右导数为 + 0 + + 0 0 ' ( )= lim = lim =1. x x y x f x Δ→ Δ→ x x Δ Δ Δ Δ f f (0) (0), + − 即 ′ ′ ≠ 故函数 f () | | x x = 在点 x0=0 处不可导. 三、函数的连续性与可导的关系 定理：如果函数 y fx = ( ) 在点 0 x 处可导，那么 y fx = ( ) 在点 0 x 处连续. 该定理可简述为：可导则连续. 说明：1. 由可导的定义，变量、极限和无穷小量的关系定理可以证明 Δ →x 0时，Δyyx x = Δ+ Δ→ ' 0 α 2. 该定理的逆命题并不成立. 如 f () | | x x = 在点 x0=0 处连续但不可导. 四、高阶导数 因为 y = f x( ) 的导函数 f '( ) x 也是 x 的导数，我们把函数 y = f x( ) 的导数 f '( ) x 的 导数[ '( )]' f x 叫做函数的二阶导数，记作 y'' ,也可记作 2 2 2 2 ''( ) , = ( ). 或 其中 d y d y d dy f x dx dx dx dx 二阶导数的力学意义是运动物体的加速度. 二阶导数的导数称为三阶导数, 记作 3 3 '''= '''( ) . 或 d y yf x dx 设函数 y fx = ( ) 的存在 n-1 阶导数，且 n-1 阶导数可导，那么 y fx = ( ) 的 n-1 阶
导数的导数叫做y=f)的n阶导数，记作%，了(x减以 例如：y=x,y=l,y=0,ym=0n≥2). y=sinx,y=cosx, y=-sinx,y'=-cosx y9=sinx.问ym=?
5 导数的导数叫做 y fx = ( ) 的 n 阶导数，记作 () () ， 或 () . n n n n d y y fx dx 例如： (n) yx y y y = ≥ , '=1, ''=0, =0(n 2). ''' (4) ( ) sin , '= cos , ''=-sin , =-cosx, =sin . ? 问 n y x y x y x y y xy = =