第三章散分中值定理与导数应用 (Median theory of differentiate and the application of derivative) §3-1搬分中值定理 (Mediam theory of differentiate) (一)、费马Th 设(x)在U(x,)内有定义，时(x)存在，若对于任意的x∈U(x) 都有 f(x)2f(x),(或f(x)sf(x)》 则：f(x)=0. 证费马Th,定理 (二)、三个中值定理及其相互关系 若)在，b上连续，在点a,b)内上可导}则 一f(=0罗水T) 器一了份=IO@(位格朗日 证拉氏定理 b-a 器治8治州m 略 (三)、2个推论 a)若f)在(a,b)上恒有f(x)=0,则f(x)=c(常
第三章 微分中值定理与导数应用 (Median theory of differentiate and the application of derivative) §3-1 微 分 中 值 定 理 （Mediam theory of differentiate） （一）、费马 Th. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 0 0 0 ' 0 , ,( ) 0. f x f x x f x f x f x f x f x = 设 在 0 0 U x 内有定义，且 存在，若对于任意的 U x 都有 或 则： 证费马 Th.定理 (二)、三个中值定理及其相互关系 若 {f(x) 在 [a,b] 上 连 续 ， 在 点 (a,b) 内上可导 } 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' , . ' , . ' , . ' 0 ( Th ) ,( Th ,( Th f a f b a b f a f b a b g x f x a b f f b f a f b a f f b f a g g b g a = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = − − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = − 至少存在一点 使 至少存在一点 使 也满足 的条件 至少存在一点 使 ，罗尔 拉格朗日 ） 柯西 ） 证拉氏定理 略 （三）、2 个推论 a) 若 f(x) 在（a,b）上恒有 ( ) ' f x =0 ，则 f ( x ) = c (常
数) 即f(x)=0→f(x)=c b)若f(x)=g(x)x∈(a,b)则f(x)=g(x)+c 即f(x)=g(x)→f(x)=g(x)+c 注意：1Pf(x)=g(x)→fx)=g(x) 2°f(x)>0sfx)>0 3°f(x)>g(x)台f(x)>g'(x) 例(1)证：在l,上，arcsin x+arccosx=7 设f(x)=arcsinx+arccosx证 （2)证：对任意x,x,∈(-0，+0) sinx,-sinxx,-x 设f(x)=sinx证 作业：(p134—7,10,14题) §3—2洛必塔法则 (The rule of L'Hospital) 求极限时，日二0-00，w型的极限称为末定型极限，洛 必塔法则就是求未定型极限的一种十分有效的方法
数) 即 ( 0 ' f x）= f（x）= c b) 若 ( ) ( ) ' ' f x = g x x(a,b) 则 f (x) = g(x) + c 即 f (x) = g (x) f (x) = g(x) + c ' ' 注意： o 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' f x = g x f x = g x 不能 o 2 ( ) 0 ( ) 0 ' f x f x 不能 o 3 ( ) ( ) ( ) '( ) ' f x g x f x g x 不能 例 （1）证： 在[-1，1]上， 2 arcsin arccos x + x = 设 f (x) = arcsinx + arccosx 证 （ 2 ）证：对任意 , ( , ) x1 x2 − + |sin sin | | | 2 1 2 1 x − x x − x 设 f (x) = sin x 证 作业：（p134-7， 10， 14 题） §3─2 洛 必 塔 法 则 （The rule of L’Hospital） 求极限时， 0 , 0 , , ,0 ,0 ,1 , 0 0 − 型的极限称为未定型极限，洛 必塔法则就是求未定型极限的一种十分有效的方法
条件 结论 1°mf)=mg)=0 法题一日者物 ”得 则归周 =4A或∞) 法则=名型者/0=只s6: 虫绍 2).6)同上2°，3） 则与周 =A或∞) 注明： （4法则一和法则二中的“x→x。”改为“x→∞”仍成立 (B可以反复地多次利用法则求。和二型极限，即 = =m8仍为 =m得仍为 (C)(其他类型的极限应先化为上述两个类型后才用法则) 例0- 四2
条件 结论 法则一 0 0 若 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = → → → 或 内存在 点除外 且 与 在 点的某个临域 A g x f x x g x f x g x x f x g x x x x x x x 0 0 0 3 lim 0 2 . 1 . lim lim 0 0 0 0 0 0 则 ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) = → → A 或 g x f x g x f x x x x x 0 0 lim lim 法则二 型 若 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = → → 0 0 2 , 3 2 3 1 lim ( ) lim 0 0 同上 ， f x g x x x x x 则 ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) = → → A 或 g x f x g x f x x x x x 0 0 lim lim 注明： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = ( ) = = → → → 或 仍为） 仍为 或 可以反复地多次利用法则求 和 型极限，即 法则一和法则二中的“ ”改为“ ”仍成立 A g x f x g x f x g x f x g x f x B A x x x n n x lim lim ( lim 0 0 lim 0 0 0 0 （C）（其他类型的极限应先化为上述两个类型后才用法则） 例 ⑴ 2 0 1 cos lim x x x − → x a x x 1 lim 0 − → ⑵ 2 ln ln 2 lim 2 − − → x x x x x x sin lim →0
(③)mos2-cosB ④典- 阿子 1 朝回母 0=>0) (8)mxhx或me- @- 00职 ⑩m(hx对j 0- 的m-snx 作业：(p139-1(5),(9),(15),(16)题)
⑶ ( ) ( ) 2 0 cos 2 cos 3 lim x x x x − → ⑷ 3 0 sin lim x x x x − → ⑸ x arctgx x 1 2 lim − → 例 ⑹ 1 0 lim x x e x + − → ⑺ ( 0) ln lim → n x x n x ⑻ lim ln lim ( 1) 0 − → + → x x x x x或 x e ⑼ − x→ x x 1 sin 1 lim 0 ⑽ x x x → + 0 lim ⑾ ( ) x x lim ln x 0 → + ⑿ x x x x x e e e e − − →+ + − lim ⒀ x x x x sin lim − →+ 作业：（p139-1 （5），（9），（15），（16）题）
§3一3泰勒公式 (TayLor's formuls) 前面学习已知：只要)在x。点可导，则 f+△x)=fx)+fx小△x+o△x)即 f)=fk)+f"xx-x)+(x-xo),若记p()=fx)+fkx-xo) x→x,时fx)-p,()是较(x-x)高阶的无穷小量。 因此，自然会想，能否用(x-x)的一个多项式近似表示f()?下 面Th.回答此问题 泰勒Th.若f)在含有x。的某个区间(a,b)内存在直到n+1阶导 数，则对该区间a,b)内任意点x都有：(P140一证明) 闲=+/X-4-+4k-y+R的 其中：元)9：-叫，（在，与之间的数）称为拉 n+1 格朗日型余项，且 -0 ( 另外有.佩亚诺型余项o(x-)） 即：若fx)可以近似用多项式p)表示： -含觉-则误装为
§3─3 泰 勒 公 式 （TayLor’s formuls） 前 面 学 习 已 知 ： 只 要 f (x) 在 0 x 点 可 导 ， 则 f (x + x) = f (x )+ f (x )x +(x) 0 0 0 即 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0 0 0 f x = f x + f x x − x + x − x ，若记 ( ) ( ) ( )( ) 1 0 0 0 p x = f x + f x x − x 则 x x f (x) p (x) → 0时 − 1 是较 ( ) 0 x − x 高阶的无穷小量。 因此，自然会想，能否用 ( ) 0 x − x 的一个多项式近似表示 f (x) ？下 面 Th.回答此问题 泰勒 Th.若 f (x) 在含有 0 x 的某个区间 (a,b) 内存在直到 n +1 阶导 数，则对该区间 (a,b) 内任意点 x 都有：（P140─证明） ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (x x ) R (x) n f x x x f x f x f x f x x x n n n − + + − + = + − + 0 0 0 0 0 0 0 2! ! 其中： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1! + + − + = n n n x x n f R x ，（ 在 0 x 与 x 之间的数）称为拉 格朗日型余项，且 ( ) ( ) 0 0 lim 0 n x x R x x x → = − ( (( 0 ) )) n 另外有 佩亚诺型余项o x x − 即：若 f (x) 可 以 近 似 用 多 项 式 p (x) n 表示： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k n k k n x x k f x f x R x 0 0 ! = − = 则误差为