第四章不定积分 教学目的： 1.理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的性质： 2.熟练使用不定积分的基本公式： 3。掌握直接积分法，换元积分法和分部积分法。 4.1不定积分的概念与性质 4.1.1不定积分的概念 【讲解】原函数的概念 定义1设f(x)是定义在某区间I上的已知函数，如果有函数F(x)满 足：F(x)=f(x)或dF(x)=f(x),则称F(x)是f(x)在该区间1 上的一个原函数。 【板演】例1因为(sinx)=cosx,x∈(-o,+oo)所以 sinx是cosx在(-o,+oo)上的一个原函数。 【板演】例2因为(x)=5x4,(x3+2)=5x4,(x3-√7)=5x4, (x+C)=5x(C为任意常数) 所以x，,x+2,x-√7，x+C都是5x的原函数。 【结论】 1、一个函数的原函数若存在，则原函数不唯一，且有无穷多个。 2、同一函数的原函数之间只相差一个常数。 3、若F(x)为f(x)的一个原函数，则F(x)+C可表示f(x)的所有原 函数(C为任意常数)。 【讲解】不定积分的概念 定义2若函数F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的 所有原函数F(x)+C(C为任意常数)，称为f(x)在区间I上的不定 积分。记作「f(x)dk,即 1
1 第四章 不定积分 教学目的： 1. 理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的性质； 2. 熟练使用不定积分的基本公式； 3. 掌握直接积分法，换元积分法和分部积分法。 4.1 不定积分的概念与性质 4.1.1 不定积分的概念 【讲解】原函数的概念 定义1 设 f (x) 是定义在某区间 I 上的已知函数，如果有函数 F(x) 满 足： F(x) = f (x)或dF(x) = f (x)dx，则称 F(x) 是 f (x) 在该区间 I 上的一个原函数。 【板演】例 1 因为 (sin x) cos x ' = , x (−,+) 所以 sin x 是 cos x 在 (−,+) 上的一个原函数。 【板演】例 2 因为 5 ' 4 (x ) = 5x ， 5 ' 4 (x + 2) = 5x ， 5 ' 4 (x − 7) = 5x ， 5 ' 4 (x +C) = 5x （ C 为任意常数） 所以 5 x ， 2 5 x + ， 7 5 x − ， x + C 5 都是 4 5x 的原函数。 【结论】 1、 一个函数的原函数若存在，则原函数不唯一，且有无穷多个。 2、 同一函数的原函数之间只相差一个常数。 3、若 F(x) 为 f (x) 的一个原函数，则 F(x) + C 可表示 f (x) 的所有原 函数（ C 为任意常数）。 【讲解】不定积分的概念 定义 2 若函数 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的一个原函数，那么 f (x) 的 所有原函数 F(x) + C （ C 为任意常数），称为 f (x) 在区间 I 上的不定 积分。记作 f (x)dx ，即
[f(x)dx=F(x)+C 其中“了」"称为积分号，x称为积分变量，f(x)称为被积函数，f(x)d 称为积分表达式，C称为积分常数。 【讲解】由例1可得[cosxdx=snx+C,其中snx+C是cosx的 全部原函数。由例2可得[5xd=x3+C,其中x+C是5x的全 部原函数。 【讲解】不定积分「f(x)dk=F(x)+C的几何意义： 把曲线y=F(x)向上或向下平移，从而得到了一族曲线，即 y=F(x)+C,这族曲线称为f(x)的积分曲线族（如图4.1）。 不定积分f(x)dk=F(x)+C的几何意义是：积分曲线族 y=F(x)+C中的曲线，在横坐标相同的点x处的切线斜率相同，都 为被积函数f(x)
2 f (x)dx = F(x) + C 其中“ ”称为积分号， x 称为积分变量， f (x) 称为被积函数， f (x)dx 称为积分表达式， C 称为积分常数。 【讲解】由例 1 可得 xdx = x + C cos sin ，其中 sin x +C 是 cos x 的 全部原函数。由例 2 可得 x dx = x + C 4 5 5 ，其中 x + C 5 是 4 5x 的全 部原函数。 【讲解】不定积分 f (x)dx = F(x) + C 的几何意义： 把曲线 y = F(x) 向上或向下平移，从而得到了一族曲线，即 y = F(x) + C ，这族曲线称为 f (x) 的积分曲线族（如图 4.1）。 不定积 分 f (x)dx = F(x) + C 的几何 意义是 ：积 分曲 线族 y = F(x) + C 中的曲线，在横坐标相同的点 x 处的切线斜率相同，都 为被积函数 f (x) 。 x y o x 图 4 .1
4.1.2不定积分的性质（运算性质）： 【讲解】性质1求不定积分与求导数或微分互为逆运算（互逆性）。 (1)不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式） f(x)dx]=f(x)d f(x)dx=f(x)dx 例如，因为(x2y=2x,有可2xd=2x,d2xdk=2xd (2)一个函数的导数（或微分）的不定积分与这个函数相差一个 任意常数。 F(x)dx F(x)+CdF(x)=F(x)+C 例如，因为(x3y=3x2,有「(x3)dk=x3+C,「3=x3+C 【讲解】性质2不为0的常数因子，可以移到积分号前（齐次性）。 「af(x)dk=a[f(x)dk(a为非零常数) 【讲解】性质3两个函数和差的不定积分，等于两个函数不定积分的 和差（可加性）。 ff(x)±g(xldt=「f(x)dk±[g(x)c 由性质2和性质3得： 【讲解】「[af(x)±bg(x)k=a[f(x)dk±bg(x)dk(a,b为非零 常数) 4.1.3不定积分的基本公式一一直接积分法 1、公式记忆 因为 积分公式 求导公式 1.「dk=x+C (1)x'=1 (C)y=0 ∫oak=c
3 4. 1. 2 不定积分的性质（运算性质）： 【讲解】性质 1 求不定积分与求导数或微分互为逆运算（互逆性）。 （1）不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式） [ ( ) ] = ( ) ' f x dx f x 或 d f (x)dx = f (x)dx 例如，因为 (x ) 2x 2 = ，有 [ 2xdx] = 2x ' ， d 2xdx = 2xdx （2）一个函数的导数（或微分）的不定积分与这个函数相差一个 任意常数。 F x dx = F x + C ( ) ( ) ' 或 dF x = F x + C ( ) ( ) 例如，因为 3 2 (x ) = 3x ，有 x dx = x + C 3 ' 3 ( ) ， dx = x + C 3 3 【讲解】性质 2 不为 0 的常数因子，可以移到积分号前（齐次性）。 af (x)dx a f (x)dx (a为非零常数) = 【讲解】性质 3 两个函数和差的不定积分，等于两个函数不定积分的 和差（可加性）。 [ f (x) g(x)]dx = f (x)dx g(x)dx 由性质 2 和性质 3 得： 【讲解】 [af (x) bg(x)]dx = a f (x)dx b g(x)dx （ a,b 为非零 常数） 4.1.3 不定积分的基本公式——直接积分法 1、公式记忆 因为 积分公式 求导公式 1． dx = x + C , 0dx = C （1） x =1 (C) = 0
2.x“k=1 Γa+1 a1+C其中a是 (2)(x")=ax 常数，a≠-1 空-+C ) (log =-loge= 1 xlna 1 特别(hx'= x 4.「a'dk= 1a+C,其中a>0 (4)(a)'=ana,其中 且a≠1 a>0且a≠1 特别∫e'd=e'+C 5. 「cosxdx=sinx+C (5)(sin x)=cosx 6. [sin xdx=-cosx+C (6)(cosx)'=-sin x (7)(tanx)'=sec2x (8)(cotx)'=-csc2x l盘-je-omr+C 9 =arcsin x+C 1 (arcsin x)'=- 1-x2 10 10. arctan x+C 1 (arctan x)'= 1+x2 4
4 2． x dx x + C + = + 1 1 1 其中 是 常数， −1 （2） 1 ( ) − = a a x ax 3． x C x dx = + ln （ 3 ） x a e x x a a ln 1 log 1 (log ) = = 特别 x x 1 (ln ) = 4． a C a a dx x x = + ln 1 ，其中 a 0 且 a 1 特别 e dx e C x x = + （4） a a a x x ( ) = ln ，其中 a 0 且 a 1 5． cos xdx = sin x + C （5） (sin x) = cos x 6． sin xdx =－cos x + C （6） (cos x) = −sin x 7． xdx x C x dx = = + sec tan cos 2 2 （7） x x 2 (tan ) = sec 8 ． xdx x C x dx = = − + csc cot sin 2 2 （8） x x 2 (cot ) = −csc 9． x C x dx = + − arcsin 1 2 （ 9 ） 2 1 1 (arcsin ) x x − = 10． x C x dx = + + arctan 1 2 （ 10 ） 2 1 1 (arctan ) x x + =
【板演】例1计算不定积分「xd 第∫4r=4+C=+C 【板演】例2计算不定积分「2k 」积分公式4 解j2rk=22r+C 【板演】例3计算不定积分「(3simx+√)d 「(3snx+√F) 性质3 =∫3snxd+东dk 性质2 =3 si xd+∫x2k 积分公式5、2 =-3cosx+C,+( 1+C:r =-+号G+G 注意等式右端的每个不定积分都有一个任意常数，有限个任意常数 的代数和还是一个任意常数，所以上式只写一个任意常数。 作业：习题4.1一1、2、3 4.2换元积分法 【引入】在不定积分的计算中大多数不定积分不能直接求出。例如： 计算不定积分∫cos3x和∫e2k及∫V1-x2dc等等。这是因为 被积函数都是复合函数，根据积分与微分的互逆关系，复合函数的求 导法则反过来也可用于求不定积分。利用中间变量的代换，可得到不 定积分的基本计算方法一一换元积分法。第一类换元积分法也叫凑微 5
5 【板演】例 1 计算不定积分 x dx 3 解 x dx x + C = x + C + = + 3 3 1 4 3 1 1 4 4 【板演】例 2 计算不定积分 dx x 2 解 dx C x x = + 2 ln 2 1 2 【板演】例 3 计算不定积分 (3sin x + x)dx 解 (3sin x + x)dx ＝ 3sin xdx + xdx ＝ xdx + x dx 2 1 3 sin ＝ ) 1 2 1 1 3cos ( 2 1 2 1 x C1 x + C + − + + + ＝ ( ) 3 2 3cos 1 2 2 3 − x + x + C + C ＝ − x + x 2 + C 3 3 2 3cos 注意 等式右端的每个不定积分都有一个任意常数，有限个任意常数 的代数和还是一个任意常数，所以上式只写一个任意常数。 作业：习题 4.1—1、2、3 4.2 换元积分法 【引入】在不定积分的计算中大多数不定积分不能直接求出。例如： 计算不定积分 cos3xdx 和 e dx 2x 及 x dx − 2 1 等等。这是因为 被积函数都是复合函数，根据积分与微分的互逆关系，复合函数的求 导法则反过来也可用于求不定积分。利用中间变量的代换，可得到不 定积分的基本计算方法——换元积分法。第一类换元积分法也叫凑微 积分公式 4 性质 3 性质 2 积分公式 5、2