数学是自然科学的基础，是自然科学的皇后，是科学的无限，数学 是思维的体操，它的特点是： 1.概念上的高度抽象性： 2.论证上的确切严格性， 3.结果上的精密肯定性； 4.应用上的极其广泛性。 第一章 离数与教限 (Functions And Limit) 徽积分研究的是变量与运动的学科。变量间的互相依赖关系叫函数关系， 也就是说，微积分研究的对象是函数，所利用的工具是极限论。因此， 函数的概念是高等数学中最重要的概念之一。 §1-1画 数 (Functions) 一)、集合、区间、变量、邻域（主要讲述邻域概念） 1
1 数学是自然科学的基础，是自然科学的皇后，是科学的无限，数学 是思维的体操，它的特点是： 1. 概念上的高度抽象性； 2. 论证上的确切严格性； 3. 结果上的精密肯定性； 4. 应用上的极其广泛性。 第一章 函数与极限 （Functions And Limit） 微积分研究的是变量与运动的学科。变量间的互相依赖关系叫函数关系， 也就是说，微积分研究的对象是函数，所利用的工具是极限论。因此， 函数的概念是高等数学中最重要的概念之一。 §1-1 函 数 （Functions） (一）、集合、区间、变量、邻域（主要讲述邻域概念）
集合（略） 变量（略） 区间：指介于某两个实数a与b之间的所有实数，即数集(a,b) =xa<x<b,。分为：开区间、闭区间、半开闭区间、有限区间、无限 区间等； 邻域：以点a为中心，e>0为半径的开区间，称为点a的e邻域， 记作：U(a,e)=(ae,a+e)={x|x-a<e}, 去心邻域8(x,6)=(x-6,x)W(x,x+6） 举例： a-e aa+e 例1：设国=》小，若则团= '(x)=f几f(x】= f(x) +h+2x f)==万+3x 例2：设y=fx),xe(-0,+oo)的图形与x=a,x=b均对称(a≠b),证 y=fx)是周期函数，并求周期。 证：（要证f(x)=fx+)) f(a+x)=f(a-x).f(b+x)=f(b-x) ∴f(x)=f几a+(x-a】=f[a-(x-a】=f(2a-x) =f[b+(2a-x-b)]=fb-(2a-x-b)]=fIx+2(b-a)l=f(x+l) 1=2b-a)为周期
2 集合（略） 变量（略） 区间：指介于某两个实数 a 与 b 之间的所有实数，即数集（a,b） ={x|a<x<b}。分为：开区间、闭区间、半开闭区间、有限区间、无限 区间等； 邻域：以点 a 为中心，ε>0 为半径的开区间，称为点 a 的ε邻域， 记作 ：∪（a, ε）=(a-ε,a+ε)={x| |x-a|<ε}， 去心邻域 ( 0 0 0 0 0 , , , ) ( ) ( ) o U x x x U x x = − + 举例： a-ε a a+ε 例 1：设 f (x) f[ f .( f (x)).] n = ，若 2 1 ( ) x x f x + = ，则 2 1 ( ) nx x f x n + = 2 2 2 1 [ ( )] 1 2 ( ) ( ) [ ( )] x x f x f x f x f f x + = + = = 2 3 2 1 3 ( ) [ ( )] x x f x f f x + = = 例 2：设 y = f (x), x (−,+) 的图形与 x = a, x = b 均对称（ a b ）,证 y = f (x) 是周期函数，并求周期。 证：（要证 f (x) = f (x + l) ） f (a + x) = f (a − x), f (b + x) = f (b − x) [ (2 )] [ (2 )] [ 2( )] ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] (2 ) f b a x b f b a x b f x b a f x l f x f a x a f a x a f a x = + − − = − − − = + − = + = + − = − − = − l = 2(b − a) 为周期
(二)映射（略述）-一两个非空集合X与y之间的某个对应法则 f:X-LY (其运算略) (三)函数的概念 1. 函数的定义（略述） 一实数集X到实数集Y之间的一个映射,称为定义在x上的 函数：y=f(x) 包含三大要素：①定义域：D()②对应法则（变量依赖关系的具 体表现)③值域 例子：①y=3-型 ②y=In arccosx,x∈(l,) 25-x 国6m克-2-cosx-2sm'萱+1，则-2山0-3 国8)=1+xg=，则f分=旦 2 2。函数的表示法 ①公式法（显函数：y=f(x),隐函数：F(x,y)=0,参数 ∫x=0函数) y=9(g1 ②图象法 ③表格法
3 （二） 映射（略述）- 两个非空集合 X Y 与 之间的某个对应法则 : f f X Y ⎯⎯→ (其运算略) （三） 函数的概念 1． 函 数 的 定 义 （ 略 述 ） -实数集X到实数集Y之间的一个映射f,称为定义在x 上的 函数： y=f(x) 包含三大要素： ①定义域：D(f) ②对应法则（变量依赖关系的具 体表现） ③值域 例子：① 2 25 ln(3 ) x x y − − = ② y = ln arccos x, x(−1,1) ③ 1 2 ) 2 cos 2sin 2 (sin 2 = − = + x x x f ，则 f (x) = 2 1 2 x + ， f (1) = 3 ④ x x g x x f g x + = + = 1 ( ) 1 , [ ( )] ， 则 ) = 2 1 f ( -1 2 1 2 1 g(x)= x = − 2．函数的表示法 ① 公式法（显函数： y = f (x) ，隐函数： F(x, y) = 0，参数 ( ) ( ) 1 2 x t y t = = 函数） ② 图象法 ③ 表格法
(三)、函数的几种特性 f(x)sM(有上界) 1.有界性：fxsM:还有 (x)≥M,(有下界) 有界一有上界且有下界 例：了)=上在，四)上有界，在0,1上无界 常见一y=snx,y=cosx,y=arcsinx,y=arctanx等为有界函数。 若f-x)=-x),则fx)为奇函数 2.奇偶性： （讲一奇偶规律) 若f-x)=fx),则fx)为偶函数 例：①fx)=gx+V1+x2)(奇)②(P12—11(3)的证明) 单调增：x<x2,fx)<fx) 3。单调性 单调减：x<x2,fx)>f2) 4.周期性：若f(x+)=f(x),则称最小正数1为fx)的周期，fx)为周期 函数。 4
4 （三）、函数的几种特性 ( ) 1 f x M （有上界） 1．有界性： f (x) M ；还有 ( ) 2 f x M （有下界） 有界 有上界且有下界 例： x f x 1 ( ) = 在 1，) 上有界，在 (0，1) 上无界 常见—— y = sin x, y = cos x， y x y x = = arcsin , arctan 等为有界函数。 若 f (−x) = − f (x) ，则 f (x) 为奇函数 2．奇偶性： （讲——奇偶规律） 若 f (−x) = f (x) ， 则 f (x) 为偶函数 例：① ( ) lg( 1 ) 2 f x = x + + x （奇） ②（P12——11（3）的证明） 单调增： , ( ) ( ) 1 2 1 2 x x f x f x 3．单调性： 单调减： , ( ) ( ) 1 2 1 2 x x f x f x 4．周期性：若 f x l f x ( + =) ( ) ，则称最小正数 l 为 f (x) 的周期，f (x) 为周期 函数
例：设fx)是以4为周期的奇函数，且(-)=a,则f5)=（) (A)a (B)5a (C)-a (D)1-a (四)、反函数（求法） y=f)解x=fy)y=f(x) 则y=fx)互为反函数y=f) 分段函数一一（函数的分段表示法）根据自变量的不同取值范围用不同 的表达式表示的函数。 (伍)复合函数 y=f(u).uED.u=o(x).xED:.o(x)o(x)EDcD 则=f[(x]称为的复合函数，x为自变量，u为中间变量 (举1-2例) %:aw,m-{20则n{- :fx)= 0，x<0 ∴f几(x= 0,p(x)<0 x,x20 p(x,p(x)20 5
5 例：设 f (x) 是以 4 为周期的奇函数，且 f (−1) = a, 则 f (5) = （ ） （A）a (B)5a (C)-a (D)1-a （四）、反函数（求法） y = f (x) ⎯⎯→解 ( ) 1 x f y − = ⎯⎯→记 ( ) 1 y f x − = 则 y = f (x) 互为反函数 ( ) 1 y f y − = 分段函数——（函数的分段表示法）根据自变量的不同取值范围用不同 的表达式表示的函数。 (五） 复合函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 y f u u D u x x D x x D D , , , , y f x x x = = = 若 则 称为 的复合函数， 为自变量，u为中间变量。 （举 1~2 例） 例： ( ) 2 1 f (x) = x + x ，(x) = , 0 , 0 2 x x x x , 则 f [(x)] = , 0 0, 0 2 x x x f (x) = , 0 0, 0 x x x f [(x)] = ( ), ( ) 0 0, ( ) 0 x x x