第六章定积分的应用 §6-1定积分的元素法 (Element method of definite integral) 利用定积分解决问题时，往往要经过如下几个步 骤： 细分（分割)、近似代替（粗）、求和（合）、取 极限（精）即： 1,细分[a,b小，确定线段元素kx+上局部量AF 的近似值fx)d,称为总量F的元素，记作： AF=f(x)dx 2,以F的元素fx为积分表达式，在a,b上积 分，便得到总量F的表达式： F=[f(x)dx 这种用量F的微分元素fx)进行积分而得到量F 的方法称为定积分的元素法（微元法）
1 第六章 定积分的应用 §6-1 定积分的元素法 （Element method of definite integral） 利用定积分解决问题时，往往要经 过如下几个步 骤： -细分 （分 割）、 近似 代替（ 粗）、求和 （合）、取 极限（精）即： 1， 细分 a,b ，确定线段元素 x, x + dx 上局部量 F 的近似值 f (x)dx ，称为总量 F 的元素，记作： F = f (x)dx 2， 以 F 的元素 f (x)dx 为积分表达式，在 a,b 上积 分，便得到总量 F 的表达式： = b a F f (x)dx 这种用量 F 的微分元素 f (x)dx 进行积分而得到量 F 的方法称为定积分的元素法（微元法）
曲边梯形由连续曲线 =f(x y=f(x)(f(x)≥0)、 x轴与两条直线x=M、 x=b所围成。 s=["f(x)dx §6-1定积分在几何学上的爱用 一)年面因形的西积 (Area of the plane figure) (A)■、直角坐标下的面积公式 Jy↑ y=f(x) 1,(图)0a x+Ar 面积元素d=f(x)dkS=∫f(x)d达 2
2 ( ) b a s f x dx = §6-1 定积分在几何学上的应用 （一） 平面图形的面积 （Area of the plane figure） （A） 、直角坐标下的面积公式 1，（图） 面积元素 = = b a ds f (x)dx S f (x)dx 曲边梯形由连续曲线 y = f (x)( f (x) 0)、 x轴与两条直线 x = a、 x = b所围成。 a b x y o y f x = ( ) x y o y f x = ( ) a b x y o y f x = ( ) a b x y o y f x = ( ) a x x + b
y=f(x) 2,(图)0a d=[5(x)-f(x]s=∫[5(x-f(x)] 3,(图) ds=p(y)dy S=∫py)d 4,（图) ds =[o(y)-g(y)]s=[[o(y)-g(y) 5,参数方程=0 y=p2(0) (a≤1≤B)所围成的图形面积为 s=∫%，p0dh 举例： 1)求由y==2围成的图形面积 2)求由y=x-4,y2=2x围成的图形面积 3)求由=co1围成的图形面积 y=bsint 4)(或285页§6-2习题9)
3 2，（图） 2 1 2 1 ( ) ( ) , ( ) ( ) b a ds f x f x dx s f x f x dx = − = − 3，（图） = = d c ds ( y)dy S ( y)dy 4，（图） ds y g y S y g y dy d c = ( ) − ( ) = ( ) − ( ) 5 ， 参 数 方 程 ( ) ( ) ( ) 2 1 = = t y t x t 所 围 成 的 图 形 面 积 为 ( ) ( ) ' 2 1 s t t dt = 举例： 1）求由 1 y x y x , , 2 x = = = 围成的图形面积 2）求由 2 y x y x = − = 4, 2 围成的图形面积 3）求由 cos sin x a t y b t = = 围成的图形面积 4）（或 285 页 § 6 − 2 习 题 9） x y o 1 y f x = ( ) 2 y f x = ( ) a x x + b
(B)、极坐标下的面积公式 若由曲线p=p(⊙)及直线a=a,B=B(as0sB)围成图形 由于面积元素为：山=[p(]d0(扇形面积公式为 s=L=)R阳)则其面积为： s=Le(0)Jdo 0=B 0=0 举例： 5)求由心形线p=a1+cos0),(a>0)围成的图形面积 作业：284页3；285页5(1)
4 （B） 、极坐标下的面积公式 若由曲线 = ( ) 及直线 =, = ( ) 围成图形 由于面积元素为： ( ) 1 2 2 ds d = （扇形面积公式为 2 2 1 2 1 s = RL = R ） 则其面积为： ( ) 2 1 2 s d = 举 例 ： 5）求由心形线 = + a a (1 cos , 0 ) ( ) 围成的图形面积 作业：284 页 3；285 页 5（1）。 = d = = o x
二、儿何体的体积 Volume of the geometries solid) (A)、旋转体的体积 1,由连续曲线y=fx)以及直线x=a,x=b(a<b),y=0围成 的图形绕着0x轴旋转所得的几何体的体积为：（画图） y=πf(x) （分析：体积元素 h=πf2(x))) (Y,=2πxf(x)k,(P286-19题) 2,类似（如图)y=π20y),（=2πo(y)) 3,同理（如图） V,=πr2(x)-g2(x (V,=2πx[fx)-g(x)]) 举例： 1),求由y=sinx,(0≤x≤)，y=1,x=0围成的图形分别绕着 0x、oy轴旋转所得的几何体的体积V,V,（图)。 2),+少=R绕ax旋转所得的球体r=号R。 3),曲线=1十及其渐近线围成的图形绕其渐近线旋转 1 所得的旋转体的体积V=. 4)举例(P280例8) 5
5 （ 二 ）、 几何体的体积 （Volume of the geometries solid） （A）、旋转体的体积 1， 由连续曲线 y = f (x) 以及直线 x=a,x=b (a<b),y=0 围成 的图形绕着 ox 轴旋转所得的几何体的体积为：（画图） V f x dx b a x ( ) 2 = （ 分 析 ： 体 积 元 素 ( ( ) ) 2 dv = f x dx ） ( ( ) ) 2 , 286 19 b y a V xf x dx P = − − （ 题） 2, 类似（如图） = d c Vy (y)dx 2 ， （ 2 ( ) d x c V y y dy = ） 3，同理（如图） = − b a Vx f (x) g (x) dx 2 2 （ 2 ( ) ( ) b y a V x f x g x dx = − ） 举例： 1），求由 sin ,(0 ), 1, 0 2 y x x y x = = = 围成的图形分别绕着 ox、 oy 轴旋转所得的几何体的体积 Vx , Vy （图）。 2）， 2 2 2 3 3 4 x + y = R 绕ox旋转所得的球体V = R 。 3）， 2 1 1 y x = + 曲线 及其渐近线围成的图形绕其渐近线旋转 所得的旋转体的体积V= 4）举例(P280 例 8)