第一章微积分的基础和研究对象 学要求 ()了解微积分的基础：集合一实数一极限：理解实数的连续性，掌握并 会应用领域概念.(1课时 (3)理解函数的概念，掌握函数的性质（有界性、单调性、周期性和奇偶 性)；理解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念，了解基本初 等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念(2课时 (4)了解建立函数模型的步骤和方法.(1课时) 教学重点 函数的概念与性质，函数关系的构建与初等函数 数学难点 函数的概念、复合函数的分解 在中学，我们学习过集合、实数和简单的极限以及微积分知识，这为进 步学习高等 定 定的基础 然而，学习 积分为什么要学习集合、实数 和极限，它们之间有什么关系，这涉及到所谓的数学基础问题，即数学的可靠性 问题。本章将粗略介绍微积分的基础问题，使文科学生对数学有较深入的了解， 司时对中学学过的实数和极限知识作一些引申。 第一节集合、实数和极限 一、极限、实数、集合在微积分中的作用 (1)何谓数学危机？ 所谓数学危机，是指在一定数学理论体系内无法解决的重大数学矛盾问题 这些重大数学矛盾问题都涉及数学的可靠性问题。数学界，特别是西方数学界 对数学的可靠性的纷争绵延不 ,历史上对数学的可靠性的严重挑战共发生过三 次，被数学史界称为三次数学危机。（详见阅读材料） (2)第二次数学危机与微积分的理论基础是什么？ 17世纪上半叶笛卡儿（法）创建解析几何之后，变量便进入了数学.随之， 牛顿（英）和莱布尼茨（德）集众多数学家之大成，各自独立地发明了微积分 被誉为数学史上划时代的里程碑微积分诞生不久， 便在许多学科中得到广泛 有效的应 然而初期的微积分在逻辑上 在着矛盾 粗略地讲。 牛顿 莱布尼 茨的导数概念是建立在所谓的“无穷小”理论之上的，他们所谓的无穷小，时 而是零时而又不是零，这违背了逻辑学中的排中律，数学界、哲学界、宗教界的 许多人围绕微积分的逻辑基础问题展开了激烈的争论，被数学史界称为第二次数 学危机 微积分在长达两个世纪的自身理论完善过程中，法国数学家柯西和德国数学 家魏尔斯特拉斯先后建立了极限理论，从而摒弃牛顿、莱布尼茨的含混不清的 “无穷小”概念，而代之以“以零为极限的变量为无穷小量”的明确定义，从 而解决了微积分的逻辑基础问题，也就消除了第二次数学危机.可见极限是微积 分的理论基础. (3)极限的理论基础是什么？ 极限是微积分的理论基础，然而极限作为运算不总是通行无阻的，例如在有 理数范围内就可能行不通.譬如，由√2的不足近似值构成的有理数序列 1,1.4,1.41,1.414,1.4142, 1
1 第一章 微积分的基础和研究对象 教学要求 (1)了解微积分的基础：集合→实数→极限；理解实数的连续性，掌握并 会应用领域概念.（1 课时） (3)理解函数的概念，掌握函数的性质（有界性、单调性、周期性和奇偶 性）; 理解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念; 了解基本初 等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. (2 课时) (4) 了解建立函数模型的步骤和方法. (1 课时) 教学重点 函数的概念与性质，函数关系的构建与初等函数 教学难点 函数的概念、复合函数的分解 在中学，我们学习过集合、 实数和简单的极限以及微积分知识，这为进一 步学习高等数学奠定了一定的基础．然而，学习微积分为什么要学习集合、实数 和极限，它们之间有什么关系，这涉及到所谓的数学基础问题，即数学的可靠性 问题．本章将粗略介绍微积分的基础问题，使文科学生对数学有较深入的了解， 同时对中学学过的实数和极限知识作一些引申。 第一节 集合、实数和极限 一、极限、实数、集合在微积分中的作用 （1）何谓数学危机？ 所谓数学危机，是指在一定数学理论体系内无法解决的重大数学矛盾问题， 这些重大数学矛盾问题都涉及数学的可靠性问题。数学界，特别是西方数学界， 对数学的可靠性的纷争绵延不绝，历史上对数学的可靠性的严重挑战共发生过三 次，被数学史界称为三次数学危机。（详见阅读材料） （2）第二次数学危机与微积分的理论基础是什么？ 17 世纪上半叶笛卡儿（法）创建解析几何之后，变量便进入了数学．随之， 牛顿（英）和莱布尼茨（德）集众多数学家之大成，各自独立地发明了微积分， 被誉为数学 史上划时代的里程碑．微积分诞生不久，便在许多学科中得到广泛 有效的应用．然而初期的微积分在逻辑上存在着矛盾．粗略地讲，牛顿、莱布尼 茨的导数概念是建 立在所谓的“无穷小”理论之上的，他们所谓的无穷小，时 而是零时而又不是零，这违背了逻辑学中的排中律．数学界、哲学界、宗教界的 许多人围绕微积分的逻辑基础问题展开了激烈的争论，被数学史界称为第二次数 学危机． 微积分在长达两个世纪的自身理论完善过程中，法国数学家柯西和德国数学 家魏尔斯特拉斯先后建立了极限理论，从而摒弃牛顿、莱布尼茨的含混不清的 “无穷小”概 念，而代之以“以零为极限的变量为无穷小量”的明确定义，从 而解决了微积分的逻辑基础问题，也就消除了第二次数学危机．可见极限是微积 分的理论基础． （3）极限的理论基础是什么？ 极限是微积分的理论基础，然而极限作为运算不总是通行无阻的，例如在有 理数范围内就可能行不通．譬如，由 2 的不足近似值构成的有理数序列 1， 1．4， 1．41， 1．414， 1．4142，
若在有理数范围内来考察，就不存在极限.但在实数范围内来考察，它的极 限就是互.可见实数是极限的理论基础，进而可知实数是微积分的基础。 (4)实数的理论基础是什么 在19世纪，数学家们认识到实数的可靠性来源于自然数.于是自然数便成了 实数的基础，进而自然数成了微积分的基础. (5)白然数的基础是什么？ 数学家们对数学基础的研究并未到自然数为止.19世纪末，又认识到自然 数可由德国数学家康托儿提出的集合来定义，于是微积分的可靠性就取决于集合 论的可靠性.因而集合又成了微积分的基础.而微积分又是现代数学的基础知识， 于是几乎全部数学都可以建立在集合基础之上，可见集合是整个数学大厦的基 石 (6)数学发展的动力是什么？ 通过前面的介绍 我们体会到，对微积分基础的研究大大推动了微积分的完 善和发展，体现了数学发展动力的一个方面，即由数学自身矛盾运动产生的内部 力量.还应认识到数学发展动力的另一个方面，即由人类社会实践所产生的外部 力量.17世纪资本主义生产力的发展正是推动微积分产生和发展的外部力量. (7)拾哈粉学可可靠性的标准是什么？ 关于数学的可靠性问题，我们固然应该根据数学科学的特点追求数学的逻辑 可靠性，但最终还要符合实践可靠性，即数学的可靠性尚需接受社会实践的检验， 小结：微积分的理论基础如下图所示 集合 自然数 实数 极限 微积分 二、实数系的建立及邻域概念 1.实数系的演变及性质 1)人类历史上最先认识的数是自然数，他们是0,1,2,3， .,全体自然数 的集合叫做自然数集。自然数中减法产生负数，一整数系统：整数中除法产生 分数，一有理数系统：自然数中开方产生无理数，→实数系统： (2)有理数的性质与缺陷： 性质：有理数集是最小的数域（代数性质）。有理数的运算及其法则来源于整数 有理数集在四则运算下是封闭的，而且加法、乘法满足结合律与交换律，并且乘 法对加法满足分配律，具有这种性质的数集叫做数域。有理数是有序的、可数 的（集合性质）。像自然数一样，有理数可以比较大小，是有序的，因此可以在 数轴上排列出来。可以与自然数一一对应。有理数在数轴上是稠密的（几何性 质)。任意两个有理数之间，必然存在第三个有理数，而不管这两个有理数有多 久接近」 缺陷：从代数上看，有理数在开方运算下不封闭：从几何上看，有理数在数轴 还有许多缝隙，并没有铺满整个数轴：从分析上看，有理数对极限运算不封闭。 (3)实数数集产生的必要性
2 若在有理数范围内来考察，就不存在极限．但在实数范围内来考察，它的极 限就是 ．可见实数是极限的理论基础，进而可知实数是微积分的基础． （4）实数的理论基础是什么？ 在 19 世纪，数学家们认识到实数的可靠性来源于自然数.于是自然数便成了 实数的基础，进而自然数成了微积分的基础． （5）自然数的基础是什么？ 数学家们对数学基础的研究并未到自然数为止．19 世纪末，又认识到自然 数可由德国数学家康托儿提出的集合来定义，于是微积分的可靠性就取决于集合 论的可靠性．因而集合又成了微积分的基础．而微积分又是现代数学的基础知识， 于是几乎全部数学都可以建立在集合基础之上．可见集合是整个数学大厦的基 石． （6）数学发展的动力是什么？ 通过前面的介绍，我们体会到，对微积分基础的研究大大推动了微积分的完 善和发展，体现了数学发展动力的一个方面，即由数学自身矛盾运动产生的内部 力量．还应认识到数学发展动力的另一个方面，即由人类社会实践所产生的外部 力量．17 世纪资本主义生产力的发展正是推动微积分产生和发展的外部力量． （7）检验数学可靠性的标准是什么？ 关于数学的可靠性问题，我们固然应该根据数学科学的特点追求数学的逻辑 可靠性，但最终还要符合实践可靠性，即数学的可靠性尚需接受社会实践的检验. 小结：微积分的理论基础如下图所示. 二、实数系的建立及邻域概念 1.实数系的演变及性质 （1）人类历史上最先认识的数是自然数，他们是 0,1,2,3，.,全体自然数 的集合叫做自然数集。自然数中减法产生负数，⇒ 整数系统；整数中除法产生 分数， ⇒ 有理数系统；自然数中开方产生无理数， ⇒ 实数系统； （2）有理数的性质与缺陷： 性质：有理数集是最小的数域（代数性质）。有理数的运算及其法则来源于整数； 有理数集在四则运算下是封闭的，而且加法、乘法满足结合律与交换律，并且乘 法对加法满足分配律，具有这种性质的数集叫做数域。 有理数是有序的、可数 的（集合性质）。像自然数一样，有理数可以比较大小，是有序的，因此可以在 数轴上排列出来。可以与自然数一一对应。 有理数在数轴上是稠密的（几何性 质）。任意两个有理数之间，必然存在第三个有理数，而不管这两个有理数有多 么接近。 缺陷：从代数上看，有理数在开方运算下不封闭；从几何上看，有理数在数轴上 还有许多缝隙，并没有铺满整个数轴；从分析上看，有理数对极限运算不封闭。 （3）实数数集产生的必要性
由于有理数有许多不完备的地方，如果不对有理数进行扩充，关于极限的运算就 无法进行，从而也就不会有微积分。全体有理数与无理数合称为实数关于实数， 实数是连续的，实数点铺满整个数轴。 2.邻域概念 微积分的理论基础是极限，而极限的理论基础是实数.要在实数范围内用极 限解决微积本身的问题，就要借助于邻域概念。 定义与点和距离小于6(>0)的全体实数的集合称为点和的6邻域，记 作U(xo, 6),和称为邻域的中心， 6称为邻域的半径（图1.1） 0-。气无+dx 图1.1 观察图1.1，在点为附近的数轴上，有一个开区间(x。-6,x+)(6>0), 其内凝聚着无穷多个连锦不断的点，当6变小时，开区间(x。-6,x+)便会变小， 其内仍然凝聚着无穷多个连绵不断的点，由点与实数的一一对应，以及实数的连 续性可知，当δ越来越小时，开区间也会越来越小，但其内仍有无穷多个连绵不 断的点，这就表明落在(x。6,x+)内的变数x便会与x越来越接近.显然这样 的开区间便可作为刻划变量x无限接近于常数x,的一种工具，这一工具便称为x 的6邻城.由此可抽象出邻城概念 显然点x,的6邻域可用集合记号表示为{x川x-xk},或用区间表示为 (x-6.x+8) 如果点，的6邻域U(x。,)不包括点x,则称为点x的去心邻域（图1.2） 记作U(xo,6),也可用集合记号表示为{x0<|x-xK}. 例用邻域符号和区间符号表示不等式2x+1K号（6>0)所确定的x的范 围，并描绘在数轴上 解由2x+得+水即（水所以它表示以点为中心 以￡为半径的邻域，用邻域符号表示为U(2 1￡ 由+水号得行所以用区间符号表示为异 24 3
3 由于有理数有许多不完备的地方，如果不对有理数进行扩充，关于极限的运算就 无法进行，从而也就不会有微积分。全体有理数与无理数合称为实数关于实数， 实数是连续的，实数点铺满整个数轴。 2.邻域概念 微积分的理论基础是极限，而极限的理论基础是实数.要在实数范围内用极 限解决微积本身的问题，就要借助于邻域概念. 定义 与点 x0 距离小于δ（＞0）的全体实数的集合称为点 x0 的δ邻域，记 作 U（x0，δ），x0 称为邻域的中心，δ称为邻域的半径（图 1.1）. 观察图 1.1，在点 x0附近的数轴上，有一个开区间 （δ＞0）， 其内凝聚着无穷多个连绵不断的点，当δ变小时，开区间 0 0 ( -, ) x x δ +δ 便会变小， 其内仍然凝聚着无穷多个连绵不断的点，由点与实数的一一对应，以及实数的连 续性可知，当δ越来越小时，开区间也会越来越小，但其内仍有无穷多个连绵不 断的点，这就表明落在 0 0 ( -, ) x x δ +δ 内的变数 x 便会与 0 x 越来越接近.显然这样 的开区间便可作为刻划变量 x 无限接近于常数 0 x 的一种工具，这一工具便称为 0 x 的δ邻域.由此可抽象出邻域概念. 显然点 0 x 的δ邻域可用集合记号表示为 0 { || - | } x xx < δ ，或用区间表示为 0 0 ( -, ) x x δ +δ . 如果点 0 x 的δ邻域 0 U x( ,) δ 不包括点 0 x ，则称为点 0 x 的去心邻域（图 1.2）, 记作 0 ( ,) o U x δ ，也可用集合记号表示为 0 { | 0< | - | } x xx < δ . 例 用邻域符号和区间符号表示不等式|2 1| 2 x ε + < （ε >0）所确定的 x 的范 围，并描绘在数轴上. 解 由|2 1| 2 x ε + < 得 1 | | 2 4 x ε + < ，即 1 | -(- ) | 2 4 x ε < .所以它表示以点 1 - 2 为中心、 以 4 ε 为半径的邻域，用邻域符号表示为 1 (- , ) 2 4 U ε . 由 1 | | 2 4 x ε + < 得 1 1 - - <- + 24 2 4 x ε ε < ，所以用区间符号表示为 1 1 (- - , - + ) 24 2 4 ε ε . 0 0 ( -, ) x x δ +δ
第二节函数 一、 函数定义与表示法 1.常量(constant):保持不变的量.如常数1、一2、50、e、π 变量(ariable):可以取不同值的量.如sinr中的x 函数的定义（传统定义）如果在变化过程中有两个变量x,x在某个变化范围X 内的某一确定的值，按照某个对应法则∫，y都有唯一确定的值与它对应，那么 y就是x的函数.记作y=f(x),称x为自变量，X是f的定义域(domain of definition),全体函数值的集合称作函数的值域. 注：(1)函数是由定义域、对应法则、值域组成的 (2)定义域是自变量所能取的，使算式有意义的一切实数值 2.表示法与分段函数 (1)函数的表示法通常有三种： 解析法：能做具体计算，利于理论研究：图像法：形象直观 表格法：利于直接查得自变量对应的函数值」 例如： y=In(1+x) (2)分段函数：在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的 函数，称为分段函数。 例1：在统计学上饮食消费占日常支出的比例称为恩格尔系数，它反映了一个国 家的富裕程度，也是国际通用的一项重要指标.（见图21） 1当r>0 例2：符号函数y=sgnx={0当x=0 (见图2.2) -1当x<0 富裕程度 图2.1 图2.2 二、 函数的基本性质 1单调性：如果对于区间1上任意两点x及，当x<x,时，恒有(：)<f:)】 则称函数f(x)在区间1上是单调增加的：如果对于区间1 上任意两点x及x,当x<x,时 恒有fx)>fx)则称函数fx)在区间1上是单调减少 例如：函数y=x2在区间(0,0)内单调减少；在区间(0，+)内单调增加。 2.奇偶性：设函数f(x)的定义域D关于原点O对称（即若x∈D,则-x∈D), 如果对于x∈D,有f(-x)=f(x)则称f(x)为偶函数；如果对于x∈D,有 f(-x)=-f(x)则称f(x)为奇函数 偶函数的图形关于y轴对称 奇函数的图形关于原点对称
4 第二节 函数 一、 函数定义与表示法 1. 常量（constant）：保持不变的量. 如常数 1、－2、50、e、π 变量（variable）：可以取不同值的量. 如 sinx 中的 x 函数的定义（传统定义）:如果在变化过程中有两个变量 x , y, x 在某个变化范围 X 内的某一确定的值,按照某个对应法则 f , y 都有唯一确定的值与它对应,那么 y 就是 x 的函数.记作 y = f (x)，称 x 为自变量, X 是 f 的定义域(domain of definition),全体函数值的集合称作函数的值域. 注：(1)函数是由定义域、对应法则、值域组成的. (2)定义域是自变量所能取的,使算式有意义的一切实数值. 2. 表示法与分段函数 （1）函数的表示法通常有三种： 解析法：能做具体计算，利于理论研究；图像法：形象直观； 表格法：利于直接查得自变量对应的函数值。 例如： y=ln(1+ x) （2）分段函数：在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的式子来表示的 函数,称为分段函数。 例 1：在统计学上饮食消费占日常支出的比例称为恩格尔系数，它反映了一个国 家的富裕程度，也是国际通用的一项重要指标. （见图 2.1） 例 2：符号函数 （见图 2.2） 图 2.1 图 2.2 二、 函数的基本性质 1.单调性： 例如：函数 y = x 2 在区间(-∞, 0)内单调减少；在区间(0, +∞)内单调增加。 2.奇偶性： 偶函数的图形关于 y 轴对称; 奇函数的图形关于原点对称。 x(%) 20 40 50 60 100 绝对富裕 比较富裕 小康水平 温饱 贫困 。 。 。 。 y 富裕程度 O 1 0 sgn 0 0 1 0 x yx x x ⎧ > ⎪ == = ⎨ ⎪− < ⎩ 当 当 当 x y o −1 1 12 12 如果对于区间 上任意两点 及 当 时 I xx xx , , < 1 2 恒有 f ( ) ( ), x fx < 则称函数 在区间 上是单调增加的 fx I () ; 则称函数 在区间 上是单调减少的 fx I () . 12 12 如果对于区间 上任意两点 及 当 时 I xx xx , , < 1 2 恒有 f ( ) ( ), x fx > 设函数 的定义域 关于原点 对称 即若 f () ( , x D O xD ∈ 则− x∈ D) , 如果对于 有 ∀ ∈x D, f ( ) () − = x fx 则称 为偶函数 f x() ; 如果对于 有 ∀ ∈x D, f ( ) () − =− x fx 则称 为奇函数 f x()
3.周期性：设函数f(x的定义域为R,如果T>0,使得f(x+T)=f(x)(x∈R) 则称f(x)为周期函数T称为(x)的周期. 注：通常周期函数的周期是指其最小正周期，并非任意周期函数都有最小正周期 4.有界性： 设函数y=f(x)的定义域是(a,b),M≥0.如果函数f(x)对于x∈(a,b)满足f(x)≤M, 则称f(x)是区间(a,b)内的有界函数. 例如：sinx.cosx在定义域内是有界函数：5in≤1，.cosx≤l 3x在定义域内无界函数，而在[-1，]内有界：3x≤3. 三、 反函数 定义：设函数y=f(x),x∈D,Y是值域如果对于y内的任一yD内都有唯 确定的x与之对应，使∫)=y则在y上确定了一个函数，这个函数称为函数 y=f(x)的反函数记作 函数 E上通常记 (x) 它的反函 的图形关 y= x对 反函数存在性定理：单调函数存在反函数，且直接函数与其反函数单调性相同， 例：设y=x2-1,求其反函数 解：x<0时，y单调递减：x≥0，y单调递增，.y在(-0，+0)内不存在反函数 当x<0时，反函数为=-√x+1(x≥-1)；当x≥0时，反函数为y=√x+1. 四、 基本初等函数 把常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本 初等函数 1.常数函数 =C(C是常数) 常函数的定义域为(，+)，图形为平行于x轴，在y轴上截距为C的直线， 2.幂函数y=xa(a是常数) 幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值，它在(0，+∞)内总有定义。幂函数 图形都经过(1,1)点。（见图2.3） V=. 图2.3 图2.4 3.指数函数 1V=a(a>0.a≠1) 定义域为 ,+00), 值域为0，+),都通过点(0,1当>1时，函数单调增加 当0<<1时，函数单调减少。（见图2.4）
5 3.周期性： 注：通常周期函数的周期是指其最小正周期，并非任意周期函数都有最小正周期. 4. 有界性： 三、 反函数 定义：设函数 ,Y 是值域.如果对于Y 内的任一 y, D内都有唯一 确定的 x 与之对应，使 f (x) = y, 则在Y 上确定了一个函数，这个函数称为函数 y = f ( x )的反函数.记作 通常记作 函数 称为直接函数。直接函数与它的反函数的图形关于直线 y = x 对称. 反函数存在性定理：单调函数存在反函数，且直接函数与其反函数单调性相同. 四、 基本初等函数 把常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本 初等函数. 1.常数函数 常函数的定义域为(-∞, +∞)，图形为平行于 x 轴, 在 y 轴上截距为 C 的直线。 2. 幂函数 幂函数的定义域随 a 而异，但不论 a 为何值, 它在(0, +∞)内总有定义。幂函数 图形都经过 (1, 1)点。（见图 2.3） 图 2.3 图 2.4 3. 指数函数 定义域为(-∞, +∞)，值域为(0, +∞)，都通过点(0, 1), 当 a>1 时，函数单调增加； 当 0<a<1 时，函数单调减少。（见图 2.4） 则称 为周期函数 称为 的周期 fx T fx () , () . 设函数 的定义域为 f x( ) R, 如果 使得 ∃T > 0, fx T fx x ( ) ( ) ( R) + = ∀∈ ( ) ( , ) 0. ( ) ( , ) ( ) () (,) . 设函数 的定义域是 ， 如果函数 对于 满足 ， 则称 是区间 内的有界函数 y f x ab M f x x ab f x M f x ab = ≥ ∈≤ 2 2 sin cos sin 1 cos 1. 3 11 3 3. 例如： 、 在定义域内是有界函数： ， 在定义域内无界函数，而在[- ，]内有界： xx x x x x ≤ ≤ ≤ y = fx x D ( ), ∈ -1 x = ∈ f yyY ( ), . -1 y = f xxY ( ), . ∈ y = f x( ) 2 例：设 ，求其反函数 y x = −1 . 当 时，反函数为 （ ）；当 时，反函数为 x y xx x yx < =− + ≥− ≥ = + 0 1 1 0 1. 解： 时 单调递减； ， 单调递增， 在（- ，+ ）内不存在反函数. ∵ x y xy y < ≥ ∴ ∞∞ 0, 0 yC C = ( ) 是常数 ( ) a yx a = 是常数 1 y x = y x = y x = 2 y x = o 1 x yaa = > （ ） 1 ( ) 1 0 1 x y a a = < < ( 0, 1) x ya a a = >≠