第二章导数与般多 (derivative and differentiate) §2=1导数的橇念 (concepts of derivative) （一）、引例：变速直线运动的速度：=巴+-0 △ 曲线的切线斜率。k=ga=m+-四 Ax (二)一、导数的构造性定义 )某x,点处的导数定义 设y=fx)在x,点的一个邻域有定义。若极限 色是-+) Ax 存在，则称它为)在x,点对x的导数，记为f:,咸(，减r= 即：%-典+g园 此时，也称y=x)在x。点可导，否则称为不可导（导数不存在 举例：1)设fx)=x2+1,求x=2点的导数f(2)
第二章 导数与微分 （derivative and differentiate） §2 一 1 导数的概念 (concepts of derivative) （一） 、引例：变速直线运动的速度： t s t t s t v t + − = → ( ) ( ) lim 0 曲线的切线斜率： x f x x f x k tg x + − = = → ( ) ( ) lim 0 （二） 、导数的构造性定义 a) 某 0 x 点处的导数定义 设 y = f (x) 在 0 x 点的一个邻域有定义。若极限 存在，则称它为 y=f(x)在 0 x 点对 x 的导数，记为 0 0 ' 0 ' ( ) ( ) x x dx dy f x 或y x 或 = 即： x f x x f x f x x + − = → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 ' 此时，也称 y=f(x)在 0 x 点可导，否则称为不可导(导数不存在). 举例：1）设 f(x)=x2+1,求 x=2 点的导数 (2) ' f x f x x f x x y x x + − = → → ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0
)=+A- △x 导数定义的几种等价形式： @+月-16) h f(x)-f() X-名 朝子设的在点可号，则U化+片 原极限 +h-f2显3 lim- =f) b)导函数的定义 若f(x)在某区间(a,b)内点点可导，则称y=fx)在(a,b)内可导，此 时，其导数是区间(a,b)上点x的函数.称为fx)对x的导函数，简 称为导数，记为y或（域安，即 厂)=▣+A-) Ar 举例：①fx)= ②y=1 ③y=c求y (三)、导数的几何意义 )一色兰=侧-自线在点处的初线的斜率（国图） 因此，曲线y=fx)在(x)点切线方程为 y-Yo=f(xoXx-xo)
导数定义的几种等价形式： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 lim lim lim x h x x f x x f x f x x f x h f x h f x f x x x → → → + − = + − = − = − 例子：设 f(x)在 x0点可导，则 + − − = → )] 2 1 ) ( 1 lim [ ( 0 0 n f x n n f x n ( ) 2 3 2 3 ) 1 ( 2 3 ) 2 1 ) ( 1 ( lim 0 ' 0 0 f x n n f x n f x n = + − − = → 原极限 b) 导函数的定义 若 f (x) 在某区间 (a,b) 内点点可导，则称 y = f (x) 在 (a,b) 内可导，此 时，其导数是区间 (a,b) 上点 x 的函数. 称为 f (x) 对 x 的导函数, 简 称为导数, 记为 dx dy y'或f '(x)或 ，即 x f x x f x f x x + − = → ( ) ( ) ( ) lim 0 ' 举例：① f (x) = x ② x y 1 = ③ y = c 求 y' （三） 、导数的几何意义 tg x y f x x = = →0 0 '( ) lim =曲线 f (x) 在点 ( , ) 0 0 x y 处的切线的斜率（画图） 因此, 曲线 y = f (x) 在 ( , ) 0 0 x y 点切线方程为 ( )( ) 0 0 ' 0 y − y = f x x − x
法线方程为：-%=-】 1 顺便指出：电学上 i0(电流强度)= d 力学上 (四)、可导性与连续性的关系 1.可导性与连续性的关系： 可导之连线（证明）（举D 不可号士不连续 2.导数存在的充要条件是：左、右导数存在且相等，即 （左导数)化)=典+-m产园 Ar x-Xo （右导数))-+=m- x-Xo 举例：(x)= x2+1,(x>1) 2x,(xs1)
法线方程为： ( ) '( ) 1 0 0 0 x x f x y − y == − − 顺便指出：电学上 i(t)（电流强度）= dt dQ 力学上 dt ds t s v t t = = →0 ( ) lim （四）、可导性与连续性的关系 1． 可导性与连续性的关系： ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯→ 一定 不一定 可导 连续 （证明）（举例） ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯→ 不一定 一定 不可导 不连续 2． 导数存在的充要条件是：左、右导数存在且相等，即 （左导数） 0 0 0 0 0 0 ' ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x f x x f x f x x x x − − = + − = → − → − − （右导数） 0 0 0 0 0 0 ' ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x f x x f x f x x x x − − = + − = → + → + + 举例： ( ) 2 1,( 1) 2 ,( 1) x x f x x x + =
§2-2基车求导公式及求导四则运算法则 (Derivatives of same elementary functions and the open rule derivatives) (一)、基本求导公式（导数基本公式） 1、(cy=0 2、(x"y=x- 3、(ay=aLna 4、(ey=e 5、(Log.=xna 1 6、nx)'=1 7、(siw)'=cos 8、(cosx)'=-sinx 1 9(@-oxw2 10、(a=x-cxx 1 ll、(secx)=secxtanx 12、(cscx)=-cscxcot 13、msn对j=- 1 14、(arccosx)=- v-x l5、((arctanx)=+ 16、((arccotx)=x+ 17、(shr)'=cm I8、(chr)'=shx (二)、求导四则运算法则 设u=u(x)v=(x)均可导，则 u士cu“（v≠0)也可导 且①(u±vy=生
§2-2 基本求导公式及求导四则运算法则 (Derivatives of same elementary functions and the open rule derivatives) （一） 、基本求导公式（导数基本公式） 1、(c)'= 0 2、 1 ( )' − = n n x nx 3、 a a Lna x x ( )'= 4、 x x (e )'= e 5、 xLna Log xa 1 ( )'= 6、 x 1 (lnx) ' = 7、 (sinx) cos x ' = 8、(cosx) sin x ' = − 9、( ) ' 2 2 1 tan sec cos x x x = = 10、( ) ' 2 2 1 cot csc sin x x x = − = − 11、( ) ' sec sec tan x x x = 12、( ) ' csc csc cot x x x = − 13、 2 ' 1 1 (arcsin ) x x − = 14、 2 ' 1 1 (arccos ) x x − = − 15、( ) ' 2 1 arctan 1 x x = + 16、( ) ' 2 1 cot 1 arc x x = − + 17、 shx = chx ' ( ) 18、 chx = shx ' ( ) （二）、求导四则运算法则 设 u = u(x), v = v(x) 均可导，则 , , , (v 0) v u u v c u v u 也可导 且 ① (u v)'= u'v
②(cwy=cw ③(uvy=v+m ④白=-m 1,2 ⑧白. 举例： 1)y 2)证基本公式912 》灯孕别 4)y=xhnxsin,x求y 5）f)-os产+3r2+rg 求f(0). -smx,则财@=1 6)(用定义求)f=acsn+sm (三)、反函数求导公式 (The open rule of derivative of composite function) 若)单调可导，且少=f≠0，则其反函数x=f+地可导，且 或、 dx 1 1 在（举例说明） dx y (四)、复合函数的求导法则
② (c u)'= cu' ③ (u v)'= u'v + uv' ④ 2 ' ' ( )' v u v uv v u − = ⑤ 2 ' ( )' v cv v c = − 举例： 1） ' 2 2 2 y x x x y 求 + = 2）证基本公式 9~12 3） 1 2 ) 2 ( 1 cos sin ( ) ' = + + = f x x x f x 求 4） ' y = x ln xsin x,求y 5） (0). 3( 1) cos ( ) ' 2 f x arctgx e x f x x 求 = + + 6）（用定义求） , (0) 1 1 sin 1 sin ( ) arcsin ' = + − = f x x f x x 则 （三）、反函数求导公式 （The open rule of derivative of composite function） 若 y=f(x)单调可导，且 ( ) 0 ' = f x dx dy , 则其反函数 x=f-1 (y)也可导，且 dy dy dx dx dx dy dy dx 1 1 = 或 = （举例说明） （四） 、复合函数的求导法则