例822讨论∫ dx的敛散性。 +3x3+5x2+2x-1 解因为 x→x4+313+5x2+2x-/1, lim 由于「收敛,所以 x收敛。 x4+3x32+5x2+2x-1 将定理8.2.2中的o(x)取为,就得到如下的 Cauchy判别法: 定理82.3( Cauchy判别法)设在[a,+∞)c(0,+∞)上恒有 f(x)≥0,K是正常数 K (1)若f( 且P>1,则∫。f(x)dx收敛; K (2)若f(x)2vn 且p≤1,则∫。f(x)x发散
将定理 8.2.2 中的ϕ( ) x 取为 1 x p ，就得到如下的 Cauchy 判别法： 定理 8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[, ) a + ∞ ⊂ (, ) 0 + ∞ 上恒有 f x( ) ≥ 0， K 是正常数。 ⑴ 若 f x K x p ( ) ≤ ，且 p > 1，则 ( )d a f x x +∞ ∫ 收敛； ⑵ 若 f x K x p ( ) ≥ ，且 p ≤ 1，则 ( )d a f x x +∞ ∫ 发散。 例 8.2.2 讨论 1 34 3 2 1 d 3 5 21 x xxxx +∞ + + +− ∫ 的敛散性。 解 因为 lim x→+∞ x xxxx 3 4 3 432 3 5 21 1 + + +− = ， 由于 1 3 4 1 dx x +∞ ∫ 收敛，所以 1 3 432 1 d 3 5 21 x xxxx +∞ + + +− ∫ 收敛
推论( Cauchy判别法的极限形式)设在+∞)c(0,+∞)上恒有 f(x)≥0,且 lim xpf(x)=l, 则 (1)若0≤1<+,且p1,则「f(x)dx收敛; 2)若0</≤+0,且ps1,则f(xx发散
推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[, ) a + ∞ ⊂ (, ) 0 + ∞ 上恒有 f x( ) ≥ 0，且 lim ( ) x p xfx l →+∞ = ， 则 ⑴ 若0 ≤ <l +∞ ，且 p > 1，则 ( )d a f x x +∞ ∫ 收敛； ⑵ 若0 < l ≤ +∞ ，且 p ≤ 1，则 ( )d a f x x +∞ ∫ 发散