例8.2.1讨论[∞2xxd的敛散性(a是常数)。 x ta 解因为当x≥1时有 cos 2xsin x 1 x+a 在例8.1.2中,已知∫4x收敛,由比较判别法,∫ +∞cos2 Sinx dx绝 XIx 对收敛,所 cos 2xsinx dx收敛 +a 注意:在以上定理中,条件“在[a,+∞)上恒有0≤f(x)≤K(x)”, 可以放宽为“存在A≥a,在[A,)上恒有0≤f(x)≤K(x)
例 8.2.1 讨论 1 3 2 cos 2 sin d x x x x a +∞ + ∫ 的敛散性（a是常数）。 解 因为当 x ≥1时有 ax xx xx 1sin2cos 23 ≤ + ， 在例 8.1.2 中，已知 1 1 dx x x +∞ ∫ 收敛，由比较判别法， 1 3 2 cos 2 sin d x x x x a +∞ + ∫ 绝 对收敛，所以 1 3 2 cos 2 sin d x x x x a +∞ + ∫ 收敛。 注意：在以上定理中，条件“在[, ) a + ∞ 上恒有 ≤ ≤ ϕ xKxf )()(0 ”， 可以放宽为“存在 ≥ aA ，在 A + ∞),[ 上恒有 ≤ ≤ ϕ xKxf )()(0
推论(比较判别法的极限形式)设在[a,+∞)上恒有f(x)20和 0(x)≥0,且 lim D(x) 则 (1)若01<+∞0,则∫。(x灿x收敛时∫。f(x)dx也收敛; 2)若0</≤+0,则∫。9(xx发散时∫fx)dx也发散 所以,当0<1<+2时,∫。(x和∫。f(x灿x同时收敛或同时发散
推论（比较判别法的极限形式 ）设在[, ) a + ∞ 上恒有 f x() 0 ≥ 和 ϕ x ≥ 0)( ，且 l x xf x = +∞→ )( )( lim ϕ ， 则 ⑴ 若 0 ≤ <l + ∞ ，则 ( )d a ϕ x x +∞ ∫ 收敛时 ( )d a f x x +∞ ∫ 也收敛； ⑵ 若 0 < ≤l + ∞ ，则 ( )d a ϕ x x +∞ ∫ 发散时 ( )d a f x x +∞ ∫ 也发散。 所以， 当 0 < < +∞ l 时， ( )d a ϕ x x +∞ ∫ 和 ( )d a f x x +∞ ∫ 同时收敛或同时发散
证(1)若m()=1<+0,则存在常数A≥a,当x≥A时成立 (x) <l+1 P(x 即 f(x)<(l+1)(x) 于是,由比较判别法,当∫以x)dx收敛时∫。f(xx也收敛
证 ⑴ 若 +∞<= +∞→ l x xf x )( )( lim ϕ ，则存在常数 A ≥ a ，当 ≥ Ax 时成立 1 )( )( l +< x xf ϕ ， 即 < + ϕ xlxf )()1()( 。 于是，由比较判别法，当 ( )d a ϕ x x +∞ ∫ 收敛时 ( )d a f x x +∞ ∫ 也收敛
证(1)若m()=1<+0,则存在常数A≥a,当x≥A时成立 (x) f(x) <l+1 x) 即 f(x)<(l+1)(x) 于是,由比较判别法,当∫以x)dx收敛时∫。f(xx也收敛。 (2)若lim f(x) l>0,存在常数A≥a,使得当x≥A时成立 f(x) p(x) 其中0<1<l(当l=+∞时,可取任意正数)即 f(x)>/'g(x) 于是,由比较判别法,当。xx发散时∫。f(xx+也发散
⑵ 若 0 )( )( lim >= +∞→ l xxf x ϕ ，存在常数 A ≥ a ，使得当 ≥ Ax 时成立 l x xf > ′ )( )( ϕ ， 其中0 < ′ < ll （当l = +∞ 时，l′可取任意正数）即 > ′ϕ xlxf )()( 。 于是，由比较判别法，当 ( )d a ϕ x x +∞ ∫ 发散时 ( )d a f x x +∞ ∫ 也发散。 证 ⑴ 若 +∞<= +∞→ l x xf x )( )( lim ϕ ，则存在常数 A ≥ a ，当 ≥ Ax 时成立 1 )( )( l +< x xf ϕ ， 即 < + ϕ xlxf )()1()( 。 于是，由比较判别法，当 ( )d a ϕ x x +∞ ∫ 收敛时 ( )d a f x x +∞ ∫ 也收敛
例822讨论厂 dx的敛散性 +3x3+5x2+2x-1 解因为 x→-x4+31x3+5x2+2x-11, 由于「收敛,所以∫ dx收敛 x4+3x32+5x2+2x-1
例 8.2.2 讨论 1 34 3 2 1 d 3 5 21 x xxxx +∞ + + +− ∫ 的敛散性。 解 因为 lim x→+∞ x xxxx 3 4 3 432 3 5 21 1 + + +− = ， 由于 1 3 4 1 dx x +∞ ∫ 收敛，所以 1 3 432 1 d 3 5 21 x xxxx +∞ + + +− ∫ 收敛