证： 若 R(A)=r<n，不妨设·airai1 a12'a21a22·aor±0,ara2arr则（1）可改写成aux, +ai2x2 +...+airx, =-ai,r+1xr+1 --ainxna2na21X +a22X2 +.. +a2rx, = -a2,r+1Xr+1一(2)ariX, +ar2x, +...+amx, =-ar,r+1xr+1 -....-arnXn83.6线性方程组解的结构K
§3.6 线性方程组解的结构 证： 则（1）可改写成 若 R A r n ( ) = ， 11 21 1 0, r a a a a a a a a a 12 1r 22 2r r2 rr …… …… ……………… …… 不妨设 11 1 12 2 1 1, 1 1 1 21 1 22 2 2 2, 1 1 2 1 1 2 2 , 1 1 r r r r n n r r r r n n r r rr r r r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + + + + + + + = − − − + + + = − − − + + + = − − − （2）
用 n-r组数(1,0,.,0),(0,1,...,0),...,(0,·..,0,1)代入自由未知量(xr+1,xr+1...x），就得到（2）的n-r解，也即（1）的n-r个解n = (C11,C12,..*,Cir,1,0,...,0)N2 =(C21,C22,...,C2r,0,1,...,0)nn-r = (cn-r,1,Cn-r,2..*,Cn-r,r,0,O,..,l)且n1,n2,,n-r满足①n,n2,…,nn-r线性无关.83.6线性方程组解的结构A
§3.6 线性方程组解的结构 代入自由未知量 ( , , , ) x x x r r n + + 1 1 ， 也即（1）的 n r − 个解 1 11 12 1 2 21 22 2 - - ,1 - ,2 - , ( , , , ,1,0, ,0) ( , , , ,0,1, ,0) ( , , , ,0,0, ,1) r r n r n r n r n r r c c c c c c c c c = = = 用 n r − 组数 (1,0, ,0),(0,1, ,0), ,(0, ,0,1) 就得到（2）的 n r − 解， 且 1 2 , , , n-r 满足： ① 1 2 n-r , , , 线性无关
事实上，若kn+knz+...+knrnn-r=0即k,ni+k,n2 +...+kn-rnn-r=(*,*,.,*,k,,k2,...,kn-r) =(0,0,...,0).. k, = k, =...= kn-r = 0,故n，n2,nn-r线性无关②任取（1）的一个解n=(c,C2,,cn),n可由n,N2""",nn-r线性表出。83.6线性方程组解的结构区区
§3.6 线性方程组解的结构 事实上，若 1 1 2 2 - - 0, n r n r k k k + + + = 1 2 ( , , , , , , , ) n r k k k = − = (0,0, ,0) 1 2 0 n r k k k = = = = − ， ② 任取（1）的一个解 1 2 ( , , , ), n = c c c 即 1 1 2 2 n r n r k k k + + + …… − − 故 1 2 , , , n r − 线性无关． 可由 1 2 , ， , n r − 线性表出．
事实上，由n，，nn-r是（1）的解，得Cr+ini+.………·+cnnn-r也为（1）的解，即Cr+ini +...+cnnn-r =(*,*,...,*,Cr+,.,cn)为（1）的解．它与n的最后n-r个分量相同，即自由未知量的值相同，所以它们为同一个解故n=Crini+.....+c,nn-r .由①②知，n,n2,,nn-r为（1）的一个基础解系$3.6线性方程组解的结构区区
§3.6 线性方程组解的结构 事实上，由 1 2 , , , n r − 是（1）的解，得 c c r n n r + − 1 1 + + …… 也为（1）的解，即 1 1 1 ( , , , , , , ) r n n r r n c c c c + − + + + = 为（1）的解. 它与 的最后 n r − 个分量相同， 即自由未知量的值相同，所以它们为同一个解． 故 = + + c c r n n r + − 1 1 …… . 由①②知， 1 2 , , , n-r 为（1）的一个基础解系．