(1)利用原函数法求解: 设原函数为u(x,y),则 au 2x ax (x,y)=3+p(y),两边对y求导, ou 1 3x ay y2 =-4+q(y,解得q() P(y 故方程的通解为
(1) 利用原函数法求解: , 2 ( , ), 3 y x x u u x y = 设原函数为 则 ( , ) ( ), 3 2 y y x u x y = + 两边对 y 求导, ( ), 1 3 3 4 2 4 2 2 y y x y x y y u = − = − + , 1 ( ) 2 y 解得 y = , 1 ( ) y y = − 故方程的通解为 . 1 3 2 2 C y y x − =
(2)利用分项组合法求解: 原方程重新组合为 2x-中y)+2=0, 3r 即得d()+d(--)=0, 故方程的通解为
(2) 利用分项组合法求解: 原方程重新组合为 ) 0, 1 ( ) ( 3 2 + − = y d y x 即得 d 0, 1 ) 2 3 ( 4 2 2 3 − + dy = y dy y x dx y x 故方程的通解为 . 1 3 2 2 C y y x − =
(3)利用曲线积分求解: (x)2x J-3x2 小y=C, (0,1) 即 ex2x dx y-3x2 0 J =c 十 故方程的通解为 2
(3) 利用曲线积分求解: , 2 3 4 2 2 ( , ) (0,1) 3 dy C y y x dx y x y x = − + , 3 1 2 1 4 2 2 0 3 dy C y y x dx x x y = − + 即 . 1 3 1 2 1 2 C y x y x y y − + = 故方程的通解为 . 1 3 2 2 C y y x − =
例4求通解 (x2-y2-2y)dx+(x2-y2+2x)dy=0 解 aP 00 oP 00 2y-2 =2x+ ≠ a ay ax 非全微分方程.利用积分因子法:原方程重新组合为 x dx-ydx-2ydx+x dy-y dy+ 2xdy=0 (x-y)(dx+dy)=2(ydx-xdy dx+dy=2 vdx-xdy 2 ,…x+p≈lnx+lnC, J 故方程的通解为e=C x-y xty
( 2 ) ( 2 ) 0. 2 2 2 2 x − y − y dx + x − y + x dy = 例4 求通解 解 = −2 − 2, y y P = 2 + 2, x x Q , x Q y P 非全微分方程. 利用积分因子法: 原方程重新组合为 ( )( ) 2( ), 2 2 x − y dx + dy = ydx − xdy 2 2 0. 2 2 2 2 x dx − y dx − ydx + x dy − y dy + xdy = 2 2 2 x y ydx xdy dx dy − − + = , 1 ( ) ( ) 2 2 x y x y d − = ln , 1 1 ln C x y x y x y + + − + = 故方程的通解为 . x y x y e C x y + − = +
练习题 选择题: 1、一阶线性非齐次微分方程y′=P(x)y+Q(x)的通 解是(). P(x)dx P(x)d J e(xe dx+cl (B)y=e P(x)dx P(x)dx e(r)e ; ()y=“m/mk dx+cl; J=ca」P(x)t 2、方程y=√x2+y2+y是(). (A齐次方程; (B)一阶线性方程; (C)伯努利方程;(可分离变量方程.A
一、选择题 : 1、 一阶线性非齐次微分方程 y = P(x) y + Q(x)的 通 解是( ). (A) + = − [ ( ) ] ( ) ( ) y e Q x e dx C P x d x P x d x ； (B) = − y e Q x e dx P( x)d x P( x)d x ( ) ； (C) + = − [ ( ) ] ( ) ( ) y e Q x e dx C P x d x P x d x ； (D) = − P x d x y ce ( ) . 2、方程xy = x + y + y 2 2 是( ). (A)齐次方程； (B)一阶线性方程； (C)伯努利方程； (D)可分离变量方程 . 练 习 题 C A