沈阳师范大学：《线性代数》课程授课教案（讲义，共五章，授课教师：罗敏娜）

线性代数教案第1章行列式C计算机与数学基础教学部O《线性代数》教案C罗敏娜授课教师：O.--计算机与数学基础教学部罗敏娜1

线性代数教案 第 1 章行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 1 - 计算机与数学基础教学部 《线性代数》教案 授课教师： 罗敏娜

线性代数教案第1章行列式授课题目81.1预备知识课次：11.了解排列、逆序数，奇偶排列、对换的性质教学目的2.掌握逆序数的概念教学重点逆序数的求法教学难点逆序数的求法教学手段板书、多媒体、学习通平台结合教学时数1课时教学过程备注一、复习引入排列的定义二、讲授新课（一）和号和积号1.和号n如a,=a+a,+…a,，表示a,a,,a,的连加和=其中i称为下标，下标是虚拟变量，可由任意字母替代，如n1万a.a=Za+11=0i=1k=l在本课程中，我们还要采用双重和号，如"AZZa,=a+a2+.+am合司+a21+a22+..a2n..+am+am2+...+a表示m·n个数a,(i=1,2,,m,j=1,2,…,n)的连加和2.积号在学习中还要用到求积的符号，如a,=aa"a，表示aaza,a,的i=l连乘积．再如II (x -x)=(2 -x)(-) (x -x) ( -x)(x, -)( ---)SJSIS表示所有可能的(x,-)(i>)的连乘积。（二）排列和逆序数1.n级排列计算机与数学基础教学部罗敏娜2

线性代数教案 第 1 章行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 2 - 授课题目 §1.1 预备知识 课次：1 教学目的 1.了解排列、逆序数，奇偶排列、对换的性质 2. 掌握逆序数的概念 教学重点 逆序数的求法 教学难点 逆序数的求法 教学手段 板书、多媒体、学习通平台结合 教学时数 1 课时 教 学 过 程 备注 一、复习引入 排列的定义 二、讲授新课 （一）和号和积号 1.和号 如 1 2 1 n i n i a a a a       ,表示 1 2 , , , n a a a 的连加和. 其 中 i 称 为 下 标 , 下 标 是 虚 拟 变 量 , 可由任意字母替代 , 如 1 1 1 1 0 n n n i k t i k t a a a           . 在本课程中,我们还要采用双重和号,如 11 12 1 1 1 m n ij n i j a a a a         21 22 2n    a a a  m m mn 1 2     a a a , 表示 m n 个数 a i m j n ij    1,2, , ; 1,2, ,  的连加和. ２.积号 在学习中还要用到求积的符号,如 1 2 1 n i n i a a a a    , 表示 1 2 3 n a a a a 的 连乘积．再如   1 i j j i n x x               x x x x x x x x x x x x 2 1 3 1 1 3 2 2 1    n n n n         表示所有可能的  x x i j i j     的连乘积. （二）排列和逆序数 1. n 级排列

线性代数教案第1章行列式定义1：由自然数1,2,3,,n组成的一个无重复有序数组ii2，.i，称为-个n级排列例1：由自然数2,3,4可组成几级排列？分别是什么？解：可以组成三级排列，它们是234.243324,342.423.4322.逆序及逆序数定义2在一个n级排列i,i2，i中，如果较大数i排在较小数i之前，即，>i，则称这一对数；构成一个逆序，一个排列中逆序的总数，称为它的逆序数.可表示为T(i,·.）例2：求(21534），T(32541)两种方法解：在五级排列21534中，构成逆序数对的有21,53,54，因此t(21534)=3在五级排列32541中，构成逆序数对的有32,31,21,54,51,41，因此t(32541)=6.3.偶排列与奇排列定义3：如果排列i,i2，…i，的逆序数为偶数，则称它为偶排列；如果排列的逆序数为奇数，则称它为奇排列。例3:试求t(123n）T(n(n-1).321),并讨论其奇偶性.解：n阶排列1,2,3,.·n中没有逆序，所以t(123..·n)=0,这是一个偶排列，它具有自然顺序，故又称为自然排列.在n,n-1,.3,2,1中，只有逆序，没有顺序，故有t(n(n-1)...21)=(n-1)+(n-2)+2+1==n(n-1)2从而当n=4k或n=4k+1时这个排列为偶排列，否则为奇排列4.对换定义4:排列i，2，i，中，交换任意两数与i的位置，称为一次对换，记为(i,1).如：21534（3）→23514t(21534)=3，所以21534是奇排列：t(23514)=4，所以23514是偶排列;一般地有以下结论定理1：任意一个排列经过一次对换后，改变其奇偶性定理2：在一个n级排列中，奇偶排列各占一半三、巩固练习排列13...(2n-1)(2n)(2n-2)·.42，求逆序数计算机与数学基础教学部罗敏娜3

线性代数教案 第 1 章行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 3 - 定义 1：由自然数 1,2,3, ,n 组成的一个无重复有序数组 n i ,i , i 1 2 称为一 个 n 级排列. 例 1：由自然数 2,3,4 可组成几级排列？分别是什么？ 解：可以组成三级排列,它们是 234,243, 324,342,423,432 . 2.逆序及逆序数 定义 2：在一个 n 级排列 n i ,i , i 1 2 中，如果较大数 s i 排在较小数 t i 之前，即 s t i i  ，则称这一对数 st ii 构成一个逆序，一个排列中逆序的总数，称为它的逆序 数.可表示为 1 2 n  ( , , ) i i i . 例 2：求   （21534 32541 ）,（ ）. 解：在五级排列 21534 中，构成逆序数对的有 21,53,54 ，因此 （21534 =3 ） . 在五级排列 32541 中，构成逆序数对的有 32,31,21,54,51,41 ，因此 （32541 =6 ） . 3.偶排列与奇排列 定义 3:如果排列 n i ,i , i 1 2 的逆序数为偶数，则称它为偶排列；如果排列的 逆序数为奇数，则称它为奇排列. 例 3:试求  123 n  n n( 1) 321   ,并讨论其奇偶性. 解: n 阶排列 1,2,3, n 中没有逆序,所以  123 0 n  ,这是一个偶排 列,它具有自然顺序,故又称为自然排列. 在 n n, 1, 3,2,1  中,只有逆序,没有顺序,故有 1 ( ( 1) 21) ( 1) ( 2) 2 1 ( 1) 2  n n n n n n          从而当 n k  4 或 n k   4 1 时这个排列为偶排列,否则为奇排列. 4.对换 定义 4:排列 n i ,i , i 1 2 中，交换任意两数 t i 与 s i 的位置，称为一次对换，记 为 t ( , ) s i i . 如: 1,3 21534 23514  ,  21534 3   ,所以 21534 是奇排列;  23514 4   ,所以 23514 是偶排 列; 一般地有以下结论. 定理 1:任意一个排列经过一次对换后，改变其奇偶性. 定理 2:在一个 n 级排列中，奇偶排列各占一半. 三、巩固练习 排列 13(2n 1)(2n)(2n  2)42, 求逆序数． 两种方法

线性代数教案第1章行列式四、小结1.排列；2.逆序数。五、作业1.学习通1.1视频2.学习通1.1课后练习题3.学习通1.1作业教学反思：让学生一定要掌握排列、逆序数，奇偶排列的定义及基本性质，这是非常重要的。1.2.让学生多做题，熟悉逆序数的求法，这在二阶、n阶行列式的定义的求法计算机与数学基础教学部罗敏娜- 4 -

线性代数教案 第 1 章行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 4 - 四、小结 1.排列； 2.逆序数。 五、作业 1.学习通 1.1 视频 2.学习通 1.1 课后练习题 3.学习通 1.1 作业 教学反思： 1. 让学生一定要掌握排列、逆序数，奇偶排列的定义及基本性质，这是非常重要的。 2. 让学生多做题，熟悉逆序数的求法，这在二阶、n阶行列式的定义的求法

线性代数教案第1章行列式授课题目81.2行列式的定义课次：11.了解二、三阶行列式教学目的2掌握行列式的定义教学重点n阶行列式的定义教学难点n阶行列式的定义教学手段板书、多媒体、学习通结合教学时数1课时教学过程备注一、复习引入中学学过解二元一次方程组[ax+ay=c][b,x+b2y=C2如果有解，它的解完全可由他们的系数(a,a2,b,bzCi,cz)表示出来。[ax+ay=C(1)(1)xb(3)abx+aby=cb(2al[b,x+b,y=c2(2)(4)abx+aby=ac2(4)(3)=(a,b, -a,b,)=(ac2 -b,c.)Jarcac, -bci=b, cl若ab-a,b0，则y=(2)aaa,b,-a,b[b b2ca2b同理x=(3)a a2[b1 b,其中a均称为二阶行列式。bc1bb112b2二、讲授新课（一）二阶、三阶行列式定义1：由2=4个数，按下列形式排成2行2列的方形[41 2记作D2[a21a22]aa2其被定义为一个数：=aia22-a12a21a21a22计算机与数学基础教学部罗敏娜1:

线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 1 - 授课题目 §1.2 行列式的定义 课次：1 教学目的 1.了解二、三阶行列式 2 掌握行列式的定义 教学重点 n 阶行列式的定义 教学难点 n 阶行列式的定义 教学手段 板书、多媒体、学习通结合 教学时数 1 课时 教 学 过 程 备注 一、复习引入 中学学过解二元一次方程组        1 2 2 1 2 1 b x b y c a x a y c 如果有解，它的解完全可由他们的系数   1 2 1 2 1 2 a ,a ,b ,b ,c ,c 表示出来。        (2) (1) 1 2 2 1 2 1 b x b y c a x a y c 1 1 (1) (2) b a           (4) (3) 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 a b x a b y a c a b x a b y c b     1 2 2 1 1 2 1 1 (4) (3)  a b  a b y  a c b c  . 若 a1b2  a2b1  0 ，则 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 b b a a b c a c a b a b a c b c y      （2） 同理 1 2 1 2 2 2 1 2 b b a a c b c a x  （3） 其中 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 , , c b c a b b a a b c a c 均称为二阶行列式。 二、讲授新课 （一）二阶、三阶行列式 定义 1：由 2 4 2  个数，按下列形式排成 2 行 2 列的方形 21 22 11 12 a a a a ， 记作 D2 其被定义为一个数： 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a  