高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第四节函数展开成罪织 ○泰勒级数 函数展开成票級数 小结 Http://www.heut.edu.cn
第四节 函数展开成幂级数 泰勒级数 小结 函数展开成幂级数
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 泰勒级数 上节例题∑(1)1=m(1+x)(-1<xs1) f(x)=∑an(x-xn)”存在幂级数在其收敛 oo 域内以fx)为和函数 问题:1.如果能展开,mn是什么? 2展开式是否唯-? 3在什么条件下才能展开成幂级数? Http://www.heut.edu.cn
上节例题 ( 1) ln(1 ) ( 1 1) 1 1 − = + − = − x x n x n n n n n f (x) an (x x ) 0 0 = − = 存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 问题: 1.如果能展开, an 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数? 一、泰勒级数
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 理国如果函数f(x)在U2(x)内具有任意阶导 数,且在U2(x0)内能展开成(x-x0)的幂级数, 即f(x)=∑an(x-x) n-=0 则其系数an=,f"(x)(m=0,,2,…) 且展开式是唯一的 证明∵∑an(x-x0)在(x收敛于f(x)即 n-=0 f(x)=a0+a1(x-x0)+…+an(x-x0)+ Http://www.heut.edu.cn
证明 ( 0 ) 在 ( 0 )内收敛于 ( ),即 0 a x x u x f x n n n − = f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) ++ an (x − x0 ) n + 如果函数 f ( x)在 ( ) U x0 内具有任意阶导 数, 且在 ( ) 0 U x 内能展开成( ) 0 x − x 的幂级数, 即 n n n f (x) a (x x ) 0 0 = − = 则其系数 ( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n = n a n n 且展开式是唯一的. 定理1
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 逐项求导任意次得 ∫(x)=a1+2a2(x-x0)+…+nan(x-x0)”+ f(n(x)=n!an+(mn+1)n…3.2an1(x-x0)+ 令x=x0,即得 f(x0)(n=0,1,2,…)泰勒系数 泰勒系数是唯一的,f(x)的展开式是唯一的 Http://www.heut.edu.cn
f (n) (x) = n!an + (n + 1)n3 2an+1 (x − x0 ) + 令 x = x0 , 即得( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n = n a n n 泰勒系数是唯一的, f (x)的展开式是唯一的. f (x) = a1 + 2a2 (x − x0 ) ++ nan (x − x0 ) n−1 + 逐项求导任意次,得 泰勒系数
高数课程妥媒血课件 理工大理>> 如果f(x)在点x处任意阶可导,则幂级数 ∑!(x-x)“称为f(x)在点x的泰勒级数 n=0 x“称为f(x)在点x的麦克劳林级数 =0 问题f(x)?∑(0(x-xn) n=0 泰勒级数在收敛区间是否收敛于fx)?不一定 Http://www.heut.edu.cn
如果 f (x)在点x0处任意阶可导,则幂级数 n n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 0 ( ) − = 称为f (x) 在点x0的泰勒级数. n n n x n f =0 ( ) ! (0) 称为 f (x)在点x0的麦克劳林级数. 问题 n n n x x n f x f x ( ) ! ( ) ( ) ? 0 0 0 ( ) − = = = 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定. 定义1