《高等代数研究》课程教学资源（书籍文献）中国科学技术大学出版社，線性代數，1989.pdf_P31-P35

W51.6整系数与有理系数多项式 ·23 §1.6整系数与有理系数多项式系数都是整数或者都是有理数的多项式称为整系数多项式或有理系数多项式.根据定理1.4.1，有理系数多项式可以分解为有理系数不可约多项式的乘积，而且不计不可约因式的次序与零次因式，不可约分解是唯的.问题是，如何判定个有理系数多项式是否在有理数域Q上不可另外，定理141（即多项式的唯一析因定理)是对数域至西言的对整数环么，唯析因定理是否仍成立，这是本节所要讨论的. 和数域F上不可约多项式的定义相仿，可以给出不可约整系数多项式的定义. 设n是正整数，如果n次整系数多项式f(c)可以表为两个次数小于n的整系数多项式的乘积，则f(x)称为在整数环Z上不可约.否则f(x)称为在整数环2 上可约.容易看出，如果整系数多项式x)在2上可约，则作为有理系数多项式， f(x)在有理数域Q上也可约.反之，如果整系数多项式f)在Q上可约fx)是否在Z上也可约？为了回答这个问题，先引进以下的概念。定义1.6.1如果整系数多项式f(x)=ao+ax anx的系数a,a 的最大公因子为1，则f(x)称为本原多项式. 设整系数多项式f(x)=ao+1x .+amx"的系数的最大公因子为 d=(ao.a.n). 则a=dd,其中dsZ,i=0.l,n,并且(a6,a-, 1因此 f(x)=da6+ax.+ax 记(，)=太+x”显然，(x)是本原多项式，并目 f(x)=df(x)】这说明，每个整系数多项式都可以表成系数的最大公因子和本原多项式的乘积. Gau5引理任意两个本原多项式的乘积是本原多项式证明设+a,x有g6o6x+ .+bmxm是本原多项会，其中对年k0.1,n+m, 式设jca6++ab+ab心这里约定，当i>m时，b=0,而当j>n时，a=0. 如果f(x)g(x)不是本原的，则(co,a,cm+m)+1.设素数p是o,a,cm+m 的公因子.由于f(x)是本原的，故p不是ao,a1,an的公因子.因此，可设a1是 ao,a1,an中第一个不被p整除的系数.同理可设b是bo,b,bm第一个不

´ §1.6 整系数与有理系数多项式 ⋅ 23 ⋅ §1.6 整系数与有理系数多项式系数都是整数或者都是有理数的多项式称为整系数多项式或有理系数多项式．根据定理 1.4.1，有理系数多项式可以分解为有理系数不可约多项式的乘积，而且不计不可约因式的次序与零次因式，不可约分解是唯一的．问题是，如何判定一个有理系数多项式是否在有理数域 Q 上不可约？另外，定理 1.4.1（即多项式的唯一析因定理）是对数域 F 而言的，对整数环 Z，唯一析因定理是否仍成立，这是本节所要讨论的．和数域 F 上不可约多项式的定义相仿，可以给出不可约整系数多项式的定义．设 n 是正整数，如果 n 次整系数多项式 f (x) 可以表为两个次数小于 n 的整系数多项式的乘积，则 f (x) 称为在整数环 Z 上不可约．否则，f (x) 称为在整数环 Z 上可约．容易看出，如果整系数多项式 f (x) 在 Z 上可约，则作为有理系数多项式， f (x) 在有理数域 Q 上也可约．反之，如果整系数多项式 f (x) 在 Q 上可约，f (x) 是否在 Z 上也可约？为了回答这个问题，先引进以下的概念．定义 1.6.1 如果整系数多项式 f (x) = a + ax + ⋯ + an x n 的系数 a， a， . . . ， an 的最大公因子为 ，则 f (x) 称为本原多项式．设整系数多项式 f (x) = a + ax + ⋯ + an x n 的系数的最大公因子为 d = (a， a， . . . ， an)，则 ai = da′ i，其中 a ′ i ∈ Z，i = ，， . . . ， n，并且 (a ′  ， a ′  ， . . . ， a ′ n ) = ．因此， f (x) = d(a ′  + a ′  x + ⋯ + a ′ n x n )．记 f(x) = a ′  + a ′  x + ⋯ + a ′ n x n．显然，f(x) 是本原多项式，并且 f (x) = d f(x)．这说明，每个整系数多项式都可以表成系数的最大公因子和本原多项式的乘积． Gauss 引理任意两个本原多项式的乘积是本原多项式．证明设 f (x) = a + ax + ⋯ + an x n 与 g(x) = b + bx + ⋯ + bmx m 是本原多项式．设 f (x)g(x) = c + cx + ⋯ + cn+mx n+m，其中对于 k = ，， . . . ， n + m， ck = abk + abk− + ⋯ + ak−b + akb，这里约定，当 i > m 时，bi = ，而当 j > n 时，aj = ．如果 f (x)g(x) 不是本原的，则 (c，c， . . . ，cn+m) ≠ ．设素数 p 是 c，c， . . . ，cn+m 的公因子．由于 f (x) 是本原的，故 p 不是 a， a， . . . ， an 的公因子．因此，可设 ai 是 a， a， . . . ， an 中第一个不被 p 整除的系数．同理可设 bj 是 b， b， . . . ， bm 第一个不

⋅ 24 ⋅ 第一章多项式 ¹ 被 p 整除的系数．现在考察 f (x)g(x) 的系数 ci+j = abi+j + ⋯ + ai−bj+ + aibj + ai+bj− + ⋯ + ai+jb．由于素数 p 整除 a， a， . . . ， ai−，b， b， . . . ， bj− 和 ci+j，因此，p 整除 aibj．因为 p 是素数，故 p 整除 ai，或者整除 bj，不可能．因此， (c，c， . . . ，cn+m) = ． ∎ 定理 1.6.1 设 n 次整系数多项式 f (x) 在 Z 上不可约，则 f (x) 在 Q 不可约．证明设 f (x) 在 Q 上可约，则存在次数小于 n 的 g(x)， h(x) ∈ Q[x]，使得 f (x) = g(x)h(x)．将多项式 g(x) 的系数通分，得到 g(x) = b g(x)，b ∈ Q，g(x) ∈ Z[x]．而 g(x) 可以表为系数最大公因子 d 和本原多项式 ̃g(x) 的乘积．因此，g(x) = b̃g(x)，其中 b = bd ∈ Q．同理，h(x) = c̃h(x)，c ∈ Q，̃h(x) 为本原多项式．于是， f (x) = bc̃g(x)̃h(x)．由 Gauss 引理，̃g(x)̃h(x) 是本原多项式，记 bc = uv−，u， v ∈ Z．由于 f (x) 是整系数多项式，且 ̃g(x)̃h(x) 是本原的，因此，v ∣ u．所以，bc ∈ Z．这就说明，f (x) 在 Z 上可约，但这是一个矛盾． ∎ 定理 1.6.1 说，如果整系数多项式 f (x) 在 Q 上可约，则 f (x) 在 Z 上可约；反之，如果整系数多项式 f (x) 在 Z 上可约，f (x) 当然在 Q 上可约．因此，整系数多项式 f (x) 相对于整数环 Z 和有理数域 Q 的不可约性是相同的．定理 1.6.2 n 次整系数多项式 f (x) 可以分解为一个整数和若干个本原不可约多项式的乘积，而且不计因式的次序和符号，这种分解是唯一的．证明根据数域 F 上的多项式的唯一析因定理，作为有理系数多项式，f (x) 可以表为 f (x) = a p(x)⋯ps(x)，其中 a ∈ Q 是 f (x) 的首项系数，诸 pi(x) 是首一有理系数多项式，并且都在 Q 上不可约．如同定理 1.6.1 的证明，pi(x) = biqi(x)，其中 bi ∈ Q，而 qi(x) 是本原多项式．如果 qi(x) 在 Z 上可约，则 qi(x) 在 Q 上可约，从而 pi(x) 在 Q 可约，不可能．因此，qi(x) 在 Z 上不可约，i = ， ， . . . ，s．于是， f (x) = ab⋯bsq(x)q(x)⋯qs(x)．和定理 1.6.1 的证明相同，可以证明，ab⋯bs ∈ Z．因此，f (x) 可以表示为一个整数和若干个本原多项式的乘积．现在设

´ §1.6 整系数与有理系数多项式 ⋅ 25 ⋅ f (x) = a p(x)p(x)⋯ps(x) = bq(x)q(x)⋯qs(x)，其中 a， b ∈ Z，p(x)， p(x)， . . . ， ps(x) 和 q(x)， q(x)， . . . ， qs(x) 是本原不可约多项式．根据定理 1.6.1，p(x)， . . . ， ps(x) 和 q(x)， . . . ， qs(x) 在 Q 上不可约．显然， a p(x)， bq(x) 在 Q 上也不可约．把 f (x) 视为有理系数多项式，根据有理数域 Q 上的多项式的唯一析因定理，s = t，并且可以适当地调整不可约因式的次序，使得相应的有理系数不可约因式只相差一个有理数因子．为简单计，设 a p(x) = cbq(x)， p(x) = cq(x)， . . . ， ps(x) = csqs(x)，其中 c，c， . . . ，cs ∈ Q．当  ⩽ i ⩽ s 时，由于 pi(x) 与 qi(x) 是本原的，因此，ci = ±，即 pi(x) = ±qi(x)．由于 p(x) = a −  cbq(x)，且 p(x) 与 q(x) 是本原的，因此，a −  cb = ±，即 a = ±cb，所以，p(x) = ±q(x)．从而 a = ±b． ∎ 定理 1.6.3（Eisenstein 判别准则）设 f (x) = a + ax + ⋯ + an x n ∈ Z[x]．如果存在素数 p，使得 p ∣ ai，i = ， . . . ， n − ，但 p ∤ an 且 p  ∤ a，则 f (x) 在 Z 上不可约．证明反证法．设 f (x) 在 Z 可约，则 f (x) = (b + bx + ⋯ + bkx k )(c + cx + ⋯ + cl x ℓ )，其中 bi，cj ∈ Z，并且 k < n，ℓ < n，k + ℓ = n．于是得到， ar = bcr + bcr− + ⋯ + br−c + brc，其中 r = ，， . . . ， n；并且当 i ⩾ k +  时，约定 bk = ；当 j ⩾ ℓ +  时，约定 cj = ．由于 p ∣ a，a = bc，故 p ∣ b，或者 p ∣ c．由于 p  ∤ a，故 p 不同时整除 b 与 c．因此可设 p ∣ b，但 p ∤ c．又因为 p∤ an，故 p∤ bk．所以必有某个  ⩽ i ⩽ k，使得 p ∣ bi，i = ，， . . . ， i − ，但 p ∤ bi．由于 p ∤ ai，p ∣ bi，i = ，， . . . ， i − ，并且 ai = bci + bci− + ⋯ + bi−c + bc，故 p ∣ bi c．因为 p ∤ bi，故 p ∣ c．与 p ∤ c 的假设相矛盾． ∎ 利用 Eisenstein 判别准则容易看出，对每个整数 n ⩾ ，都存在 n 次多项式 f (x) ∈ Q[x]，使得，f (x) 在 Q 不可约．例如，多项式 f (x) = x n + ∈ Z[x]，取 p = ，则 f (x) 适合 Eisenstein 判别准则的条件，因此，f (x) 在 Z 上不可约．根据定理 1.6.1，作为有理系数多项式，f (x) 在 Q 上不可约．例 1.6.1 设 p 是素数．多项式 Φp(x) = x p− + x p− + ⋯ + x +  称为分圆多项式．证明，分圆多项式 Φp(x) 在 Z 上（当然也在 Q 上）不可约．证明令 x = y + ．则 f (y) = Φp(y + ) = (y + ) p −  (y + ) − 

⋅ 26 ⋅ 第一章多项式 ¹ = y p− + py p− + ⋯ + C k− p y p−k + ⋯ + C p− p y + p．显然，p 不能整除 f (y) 的首项系数，p  不能整除 f (y) 的常数项，但 p 整除 f (y) 中首项系数外的其它各项．根据 Eisenstein 判别准则，f (y) 在 Z 上不可约．如果 Φp(x) 在 Z 上可约，则 Φp(x) = g(x)h(x)，其中 g(x)， h(x) ∈ Z[x]，且 deg g(x) < p − ，deg h(x) < p − ．于是， f (y) = g(y + )h(y + )．显然，g(y + )， h(y + ) ∈ Z[y]．从而 f (y) 在 Z 上可约，矛盾． ∎ 例 1.6.2 设 a， a， . . . ， an 是 n 个不同的整数．证明，多项式 f (x) = (x − a)(x − a)⋯(x − an) −  在 Q 上不可约．证明设 f (x) 在 Q 上可约，则 f (x) 在 Z 上可约，因此， f (x) = g(x)h(x)，其中 g(x)， h(x) ∈ Z[x]，且 deg g(x) < deg f (x)，deg h(x) < deg f (x)．由于 f (ai) = g(ai)h(ai) = −，故 ∣g(ai)∣ = ∣h(ai)∣ = ，且 g(ai) + h(ai) = ．这表明，多项式 g(x) + h(x) 至少有 n 个不同的根．由于 deg g(x) < n，deg h(x) < n，因此，deg(g(x)+h(x)) < n．因此若 g(x)+h(x) 是非零多项式，则 g(x) + h(x) 的根的个数小于 n，不可能．因此，g(x) + h(x) 是零多项式，从而 f (x) = −g  (x)．这和 f (x) 的首项系数为  相矛盾． ∎ 习题 1.6 1. 利用 Eisenstein 判别准则判定下述整系数多项式的不可约性． (1) x  − x  + x  − x + ； (2) x  − x  + x + ； (3) x  + ； (4) x  + x  + ； (5) p− ∑ i= (x + ) i，其中 p 是素数． 2. 设 f (x) = a x n + ax n− + ⋯ + an−x + an 是整系数多项式，且素数 p 适合：p ∤ a，p ∤ a， . . . ，p ∤ ak，p ∣ ai，i = k + ， k + ， . . . ， n，而 p  ∤ an．证明，f (x) 具有次数不低于 n − k 的整系数不可约因式． 3. 设 f (x) = a x n+ + ⋯ + an x n+ + an+x n + ⋯ + an x + an+ 是整系数多项式，且素数 p 适合：p∤ a，p ∣ ai，i = ， . . . ， n，p  ∣ ai，i = n +， . . . ， n +，但 p  ∤ an+．证明 f (x) 在 Q 上不可约． 4. 设 a， a， . . . ， an 是 n 个不同的整数．证明，多项式 f (x) = (x − a)  (x − a) ⋯(x − an)  +  在 Q 上不可约．

´ §1.7 多元多项式环 ⋅ 27 ⋅ 5. 试给出有理系数多项式 f (x) = x  + px + q 在 Q 上不可约的充分必要条件． 6. 设整系数多项式 f (x) 在 x 的  个不同整数值上都取值为 ，则 f (x) 在 x 的其它整数值上的值不可能是 −． 7. 证明，设正整数 n ⩾ ，并且 n 次整系数多项式 f (x) 在 x 的 [ n  ] +  个以上的整数值上取值为 ±，则 f (x) 在 Q 不可约．次数 n 的下界  是否还可缩小？ 8. 设整系数多项式 ax + bx +  在有理数域 Q 上不可约，并且设 ϕ(x) = (x − a)(x − a)⋯(x − an)，其中 a， a， . . . ， an 是 n 个不同的整数，n ⩾ ．证明，多项式 f (x) = aϕ  (x) + bϕ(x) +  在 Q 上不可约．并问次数 n 的下界  是否还可缩小？ §1.7 多元多项式环设 F 是数域，x， x， . . . ， xn 是 n 个未定元．设 N 是所有非负整数的集合．记 N n = {(k， k， . . . ， kn) ∣ k， k， . . . ， kn ∈ N}．设 (k， k， . . . ， kn) ∈ N，ak k⋯kn ∈ F，则 ak k⋯kn x k  x k  ⋯x kn n 称为数域 F 上的 n 元单项式，k + k + ⋯ + kn 称为它的次数，ak k⋯kn 称为它的系数．设 M 是集合 Nn 的有限子集合，则 f (x， x， . . . ， xn) = ∑ (k，k ，.，kn )∈M ak k⋯kn x k  x k  ⋯x kn n 称为数域 F 上的 n 元多项式，其中 ak k⋯kn ∈ F．n 元多项式 f (x， x， . . . ， xn) 的所有单项式的最高次数称为 f (x， x，⋯， xn) 的次数，记为 deg f (x， x， . . . ， xn)，或简记为 deg f ；ak k⋯kn 称为项 ak k⋯kn x k  x k  ⋯x kn n 的系数．例如， f (x， x， x) = xxx + √  x   x + πx   x   是实数域 R 上的  次  元多项式．所有数域 F 上的 n 元多项式的集合记为 F[x， x， . . . ， xn]．给定数域 F 上的 n 元多项式 f (x， x， . . . ， xn)，可以接照字典排列法把它所有的项逐一写出来．设 ak k⋯kn x k  x k  ⋯x kn n 和 aℓ ℓ⋯ℓn x ℓ  x ℓ  ⋯x ℓn n 是 f (x， x， . . . ， xn) 的两个项．如果存在正整数 i， ⩽ i ⩽ n，使得 k = ℓ，k = ℓ，. . . ， ki− = ℓi−，而 ki > ℓi，则将项 ak k⋯kn x k  x k  ⋯x kn n 写在项 aℓ ℓ⋯ℓn x ℓ  x ℓ  ⋯x ℓn n 之前．例如， 元多项式 f (x， x， x) = xx   x   + x   x + xx   + x   xx  