矩阵分析与应用 第六讲 Jordan标准型 信息工程学院 吕雅阳 2006-12-1
2006-12-1 矩阵分析与应用 信息工程学院 吕旌阳 第六讲 Jordan标准型
本讲主要内容 ·入一矩阵的概念 ·若当(Jordan)标准形 ·欧式空间 2006-12-1
2006-12-1 本讲主要内容 λ－矩阵的概念 若当(Jordan)标准形 欧式空间
引入 由第五讲知，n维线性空间V的线性变换在某组基下 的矩阵为对角形台T有个线性无关的特征向量 令T的所有不同特征子空间的维数之和等于. 可见，并不是任一线性变换都有一组基，使它在这 组基下的矩阵为对角形 本节介绍，在适当选择基条件下，一般的线性变换 的矩阵能化简成什么形状. 2006-12-1
2006-12-1 由第五讲知，n维线性空间V的线性变换在某组基下 的矩阵为对角形⇔ T 有n个线性无关的特征向量 . ⇔ T 的所有不同特征子空间的维数之和等于n . 可见，并不是任一线性变换都有一组基，使它在这 组基下的矩阵为对角形. 本节介绍，在适当选择基条件下，一般的线性变换 的矩阵能化简成什么形状. 引入
一、入一矩阵的概念 定义： 设K是一个数域，入是一个文字，P[2]是多项式环， 若矩阵A的元素是的多项式，即P[2]的元素，则 称A为1一矩阵，并把A写成A(2), 注： ①KcP[2],.数域K上的矩阵一数字矩阵也 是入一矩阵. 2006-12-1
2006-12-1 定义： 若矩阵A的元素是 的多项式，即 的元素，则 λ P[ ] λ 设K是一个数域， 是一个文字， 是多项式环， λ P[ ] λ 称A为λ ―矩阵，并把A写成 A( ). λ 一、λ－矩阵的概念 注： ① ∴ 数域 ∵K P ⊂ [ ], λ K上的矩阵—数字矩阵也 是 ―矩阵 λ
②入一矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算， 其定义与运算规律与数字矩阵相同 ③对于n×n的2一矩阵，同样有行列式|A(2), 它是一个九的多项式，且有 |A(2)B(2)=A(2)‖B(2)川. 这里A(2),B(2)为同级2一矩阵. ④与数字矩阵一样，λ一矩阵也有子式的概念. 几一矩阵的各级子式是2的多项式 2006-12-1
2006-12-1 其定义与运算规律与数字矩阵相同. ③ 对于 的 ―矩阵，同样有行列式 n n × λ | ( ) |, A λ 它是一个 的多项式，且有 λ | ( ) ( ) | | ( ) || ( ) | . A λ B AB λ λλ = 这里 为同级 ―矩阵 A( ), ( ) λ B λ λ . ④ 与数字矩阵一样， ―矩阵也有子式的概念 λ . λ ―矩阵的各级子式是 的多项式 λ . ② ―矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算， λ