工科研究生教材·数学系列 矩阵分析引论 (第四版) 罗家洪方卫东编著 华南理工大学出版社 ·广州·
工科研究生教材·数学系列 矩 阵 分 析 引 论 (第四版) 罗家洪 方卫东 编著 华南理工大学出版社 ·广州·
内容简介 本书是工科硕士研究生教材，全书共分六章：线性空间与线性变换、内积空间、矩阵的 标准形与若干分解形式、矩阵函数及其应用、特征值的估计与广义逆矩阵、非负矩阵。书 中者重介绍工科专业应用较多的矩阵分析基本理论和方法，注重理论和应用的结合，具有 工科教材的特点。 本书也可供工科学生、教师及工程技术人员阅读、参考。 图书在版编目(CIP)数据 矩阵分析引论罗家洪，方卫东编著一4版一广州：华南理工大学出版社， 20066 (工科研究生教材·数学系列) 1SBN7-5623-2296-4 1.矩.Ⅱ.①罗.②方.Ⅲ.矩阵分析-研究生-教材V.015121 中国版本图书馆CIP数据核字(2006)第063140号 总发行：华南理工大学出版社（广州五山华南理工大学17号楼，邮编510640） 发行部电话：020-8711348787111048（传真） E-mail:sautc13@scut.edu.cn http:www.saitpress.com.cn 责任编辑：张颖 印别者：广东省阳江市教育印务公司 开 本：787×1092116印张：11.75字数：306千 次：2006年6月第4版第16次印刷 定 价：19.00元 版权所有盗版必究
内 容 简 介 本书是工科硕士研究生教材 ,全书共分六章: 线性空间与线性变换、内积空间、矩阵的 标准形与若干分解形式、矩阵函数及其应用、特征值的估计与广义逆矩阵、非负矩阵。书 中着重介绍工科专业应用较多的矩阵分析基本理论和方法 , 注重理论和应用的结合 , 具有 工科教材的特点。 本书也可供工科学生、教师及工程技术人员阅读、参考。 图书在版编目(CIP)数据 矩阵分析引论 罗家洪, 方卫东编著 .—4 版 .—广州: 华南理工大学出版社, 2006 .6 (工科研究生教材·数学系列) ISBN 7-5623-2296-4 Ⅰ. 矩. Ⅱ.①罗.②方. Ⅲ . 矩阵分析 研究生 教材 Ⅳ. O151 .21 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (2006)第 063140 号 总 发 行 : 华南理工大学出版社 ( 广州五山华南理工大学 17 号楼 ,邮编 510640 ) 发行部电话: 020 - 87113487 87111048( 传真) E-mail: scutc13@scut.edu. cn http : www. scutpress. com. cn 责任编辑 : 张 颖 印 刷 者 : 广东省阳江市教育印务公司 开 本 : 787×1092 1 16 印张 :11 .75 字数 : 306 千 版 次 : 2006 年 6 月第 4 版第 16 次印刷 定 价 : 19 .00 元 版权所有 盗版必究
前 言 本书是根据工科研究生的教学要求编写的教材。多年来，我国许多院校开 设了“矩阵分析”或“矩阵论”这门研究生公共基础课，而且大多是安排50~60学 时，讲授的基本内容大体上就是本书前五章的内容（带*号者除外），其余少量 内容各校选择不一，本书选择了有重要应用价值的非负矩阵（第六章）来作扼要 介绍。 本课程是被认为比较抽象难学的。为了收到较好的教学效果，本书较多地 介绍了矩阵理论在线性系统等方面的应用，这样学起来就不会感到那么枯燥 了。学习抽象数学，如果知道定义、定理的来龙去脉，可能效果会好一些。这些 应用性质的材料，并不是一定要讲，或仅作简单介绍就可以了。 本书以筒短的篇幅扼要地阐述了近代矩阵理论相当广泛而又很基本的内 容。掌握了这些知识，学习后继专业课程，或进一步提高矩阵论的知识水平，就 比较容易了。 本书自1992年出版以来，被国内许多院校采用，已修订了3次，重印了15 次，发行于国内外。1993年6月曾获“中南地区大学出版社优秀教材二等奖”。 从第二版起增加了习题答案。第四版基本内容与第三版相同，只是对个别地方 作了修正；对向量、矩阵、数集等数学符号作了规范，使用了国家标准，保持与现 行大多数线性代数教材数学符号相一致；另外，根据读者的建议，对前两章基础 理论部分选编了一些典型例题和详细解答作为补充，便于学习。 作者感谢王进儒教授在审校本书第一版时的热情指导，感谢使用本教材的 老师们的批评和鼓励，感谢本书的责任编辑在编印本书时的出色工作。 作者 2006年5月30日于华工
前 言 本书是根据工科研究生的教学要求编写的教材。多年来 , 我国许多院校开 设了“矩阵分析”或“矩阵论”这门研究生公共基础课 , 而且大多是安排50～60学 时 ,讲授的基本内容大体上就是本书前五章的内容 (带 * 号者除外) , 其余少量 内容各校选择不一 , 本书选择了有重要应用价值的非负矩阵( 第六章) 来作扼要 介绍。 本课程是被认为比较抽象难学的。为了收到较好的教学效果 , 本书较多地 介绍了矩阵理论在线性 系统等方面 的应用 , 这样学 起来就不会 感到那么枯 燥 了。学习抽象数学 , 如果知道定义、定理的来龙去脉 , 可能效果会好一些。这些 应用性质的材料 , 并不是一定要讲 , 或仅作简单介绍就可以了。 本书以简短的篇幅扼要地阐述了近代矩阵理论相当广泛而又很基本的内 容。掌握了这些知识 ,学习后继专业课程 , 或进一步提高矩阵论的知识水平 , 就 比较容易了。 本书自 1992 年出版以来 , 被国内许多院校采用 , 已修订了 3 次 , 重印了 15 次 , 发行于国内外。1993 年 6 月曾获“中南地区大学出版社优秀教材二等奖”。 从第二版起增加了习题答案。第四版基本内容与第三版相同 , 只是对个别地方 作了修正 ; 对向量、矩阵、数集等数学符号作了规范 , 使用了国家标准 , 保持与现 行大多数线性代数教材数学符号相一致 ; 另外 , 根据读者的建议 , 对前两章基础 理论部分选编了一些典型例题和详细解答作为补充 ,便于学习。 作者感谢王进儒教授在审校本书第一版时的热情指导 , 感谢使用本教材的 老师们的批评和鼓励 ,感谢本书的责任编辑在编印本书时的出色工作。 作 者 2006 年 5 月 30 日于华工
目 录 1线性空间与线性变换.1 11线性空间的概念 1 12基变换与坐标变换 ggggg4ggggeggg 13子空间与维数定理 14 线性空间的同构 9 15线性变换的概念 16线性变换的矩阵.15 17不变子空间. 17 习题 18 2内积空间.21 21内积空间的概念.21 22正交基及子空间的正交关系. 24 23内积空间的同构.27 24正交变换.28 25点到子空间的距离与最小二乘法. 30 26复内积空间（酉空间）.32 27正规矩阵.34 28厄米特二次型. 39 29力学系统的小振动 43 习题.44 3矩阵的标准形. 46 31矩阵的相似对角形.46 32矩阵的约当标准形.50 33哈密顿一开莱定理及矩阵的最小多项式. .58 34多项式矩阵与史密斯标准形.61 35多项式矩阵的互质性和既约性. 68 3.6 有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解.74 37系统的传递函数矩阵”.78 38舒尔定理及矩阵的QR分解 80 39矩阵的奇异值分解.84 习题三.85 4矩阵函数及其应用. 87 41向量范数. 87
目 录 1 线性空间与线性变换 . 1 1 .1 线性空间的概念 . 1 1 .2 基变换与坐标变换 . 4 1 .3 子空间与维数定理 . 5 1 .4 线性空间的同构 . 9 1 .5 线性变换的概念. 11 1 .6 线性变换的矩阵. 15 1 .7 不变子空间. 17 习题一 . 18 2 内积空间. 21 2 .1 内积空间的概念. 21 2 .2 正交基及子空间的正交关系. 24 2 .3 内积空间的同构. 27 2 .4 正交变换. 28 2 .5 点到子空间的距离与最小二乘法. 30 2 .6 复内积空间( 酉空间). 32 2 .7 正规矩阵. 34 2 .8 厄米特二次型. 39 2 .9 力学系统的小振动 * . 43 习题二 . 44 3 矩阵的标准形. 46 3 .1 矩阵的相似对角形. 46 3 .2 矩阵的约当标准形. 50 3 .3 哈密顿—开莱定理及矩阵的最小多项式. 58 3 .4 多项式矩阵与史密斯标准形. 61 3 .5 多项式矩阵的互质性和既约性. 68 3 .6 有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解. 74 3 .7 系统的传递函数矩阵 * . 78 3 .8 舒尔定理及矩阵的 QR 分解 . 80 3 .9 矩阵的奇异值分解. 84 习题三 . 85 4 矩阵函数及其应用. 87 4 .1 向量范数. 87 4 .2 矩阵范数. 91
2 矩阵分析引论 43向量和矩阵的极限.93 44矩阵幂级数.98 45矩阵函数. .103 46矩阵的微分与积分.113 47常用矩阵函数的性质. 115 48矩阵函数在微分方程组中的应用 .117 49线性系统的能控性与能观测性】 121 习题四. . 124 5特征值的估计与广义逆矩阵.126 5特征值的界的估计*：”***”***”******** 126 52圆盘定理. 128 53谱半径的估计. 130 54广义逆矩阵与线性方程组的解. 131 55广义逆矩阵A 135 习题五 136 6非负矩阵. 138 6】正矩阵.138 62非负矩阵. 141 63随机矩阵 144 64M矩阵. .146 附录】习题答案.53 附录2典型例题解析. 168 参考书目.180
4 .3 向量和矩阵的极限. 93 4 .4 矩阵幂级数. 98 4 .5 矩阵函数 . 103 4 .6 矩阵的微分与积分 . 113 4 .7 常用矩阵函数的性质 . 115 4 .8 矩阵函数在微分方程组中的应用 . 117 4 .9 线性系统的能控性与能观测性 * . 121 习题四. 124 5 特征值的估计与广义逆矩阵 . 126 5 .1 特征值的界的估计 . 126 5 .2 圆盘定理 . 128 5 .3 谱半径的估计 . 130 5 .4 广义逆矩阵与线性方程组的解 . 131 5 .5 广义逆矩阵 A + . 135 习题五. 136 6 非负矩阵 . 138 6 .1 正矩阵 . 138 6 .2 非负矩阵 . 141 6 .3 随机矩阵 . 144 6 .4 M 矩阵 . 146 附录 1 习题答案 . 153 附录 2 典型例题解析 . 168 参考书目. 180 2 矩阵分析引论