§3数列极限存在的条件 学过数列极限概念后，自然会产生两个 问题：一是怎么知道一个数列是收敛的？ 即极限的存在性问题，二是如何计算数列的 极限？其中，判断数列是否收敛，这在极限 理论中占有非常重要的地位. 下面就极限存在性问题，介绍两个重要定理 一、单调有界定理 二、柯西收敛准则 前页 巡回
前页 后页 返回 学过数列极限概念后，自然会产生两个 §3 数列极限存在的条件 一、单调有界定理 下面就极限存在性问题, 介绍两个重要定理. 二、柯西收敛准则 理论中占有非常重要的地位. 极限? 其中, 判断数列是否收敛, 这在极限 即极限的存在性问题; 二是如何计算数列的 问题：一是怎么知道一个数列是收敛的? 返回
一、单调有界定理 定理2.7单调有界数列必有极限， 证该命题的几何意义是十分明显的. 不妨设{an}单调增，有上界.由确界定理，存 spa,}=x雷上确界的定义，对于任意的e>0, 存在a,使an>x-e.故当n>,(仁N)时， a(n>no) x-e xte 前门
前页 后页 返回 一、单调有界定理 定理 2.7 单调有界数列必有极限. 证 该命题的几何意义是十分明显的. 单调增，有上界. 由确界定理，存 在由上确界的定义，对于任意的 存在 使 ( )
x-e≤amn￡a,￡x<x+e, 这就证明了lima,=x. n®￥ 例1设4=2，L,a=22好才7，L, 求lima n®￥ 解显然an>0.因a,=√2+V2,故4>a1;设 a,>an-1,则有 01-0n=2+an-√2+an- an an-1 —>0, √2+an+V2+an-l
前页 后页 返回 例1 设 求 解 这就证明了
所以{an}递增.下面再来证明此数列有上界. 显然，41=V2<2,设4n<2,则 4n+1=√2+an<V2+2=2. 由此得到{an}有上界2，故极限imam=A存在. RY 于是由lima1=lim√2+an,可得 n®￥ n®￥ A=2+A,并解出A=2,A=-1. 由极限的不等式性，知道A>0,所 以 lim a=2. nR￥
前页 后页 返回 由此得到 有上界 2 , 由极限的不等式性, 知道 , 所 以 下面再来证明此数列有上界. 于是由 可得
例2下面的叙述错在哪儿？ 设am=2",n=1,2,L,则 4n1-2"=2an 因为显然有an>0,所以{an}递增.设lima,=A, n®Y 从而得出 A=24 D A=0, 即lim2"=0." n®￥ 以前知道圆周率π是一个重要的无理数，现在来 介绍另一个重要的无理数e. 前工
前页 后页 返回 例2 下面的叙述错在哪儿？ 因为显然有 从而得出