《高等代数研究》课程教学资源（书籍文献）中国科学技术大学出版社，線性代數，1989

28 第一章多项式州 可以按照字典排列写成 f(1,x2,x3）=xx2+x好x2x3+1xx好+x2x3 按照字典排列法写在多项式f(,x2,x)的和式中最前面的项称为f(x 2,.,xn)的首项，相应的系数称为f(x1,x2,xn)的首项系数 注意，f(:,2,x)的首项不十定是最高次项. 设f(xx,x)与g(sxx)是数域F上的n元多项式.如果它们的 相应项的系数都相等则(x,x)与gx,xn)称为相等.两个n元 多项式的和是以它们相应项的系数之和作为相应项的系数的多项式，记为 fx)+8(x1.x2.x) 具体地说，设 其中M,MEN”i记M=MOM2,当(k1,.,kn)eM1但(k1,k2,.,kn)EM2时， 约定b=0:而当(k1,k,k)M,(k,k2,kn)∈M2时，约定@kk,=0. 则f5)的和为 n)+gx 十b妇k)xxx 容易看出 deg( )≤max{degf(,xn,degg(,xn)} 对光多项武的加法容易验证下述公理成立： 结合律对任意x.xg,x)和x)eF[, 2, N （f(x,2, xn)+h(,x2, f(x)+(g(x 2)交换律对任意f,x,8 x)xn1. (43)存在零多项式每个系数都为零的n元多项式称为零多项式，记为0，同 时零多项式的次数约定为-.显然，0F,x小并且对任意f(, xm)EF[x1,x2.xn f（,2,xn)+0=0+f（,xn)=f（,x2,xn) (A4④)存在负多项式设 f(,2,xn）=∑a

⋅ 28 ⋅ 第一章 多 项 式 ¹ 可以按照字典排列写成 f (x， x， x) = x   x + x   xx   + xx   x   + xx  ． 按照字典排列法写在多项式 f (x， x， . . . ， xn) 的和式中最前面的项称为 f (x， x， . . . ， xn) 的首项，相应的系数称为 f (x， x， . . . ， xn) 的首项系数． 注意，f (x， x， . . . ， xn) 的首项不一定是最高次项． 设 f (x， x， . . . ， xn) 与 g(x， x， . . . ， xn) 是数域 F 上的 n 元多项式．如果它们的 相应项的系数都相等．则 f (x， x， . . . ， xn) 与 g(x， x， . . . ， xn) 称为相等．两个 n 元 多项式的和是以它们相应项的系数之和作为相应项的系数的多项式，记为 f (x， x， . . . ， xn) + g(x， x， . . . ， xn)． 具体地说，设 f (x， x， . . . ， xn) = ∑ (k，k ，.，kn )∈M ak k⋯kn x k  x k  ⋯x kn n ， g(x， x， . . . ， xn) = ∑ (k，k ，.，kn )∈M bk k⋯kn x k  x k  ⋯x kn n ， 其中 M， M ⊆ Nn．记 M = M∪M，当(k， k， . . . ， kn) ∈ M 但(k， k， . . . ， kn) ∉ M 时， 约定 bk k⋯kn = ；而当(k， k， . . . ， kn) ∉ M，(k， k， . . . ， kn) ∈ M 时，约定 ak k⋯kn = ． 则 f (x， . . . ， xn) 与 g(x， . . . ， xn) 的和为 f (x， x， . . . ， xn) + g(x， x， . . . ， xn) = ∑ (k，k ，.，kn )∈M (ak k⋯kn + bk k⋯kn )x k  x k  ⋯x kn n ． 容易看出， deg( f (x， . . . ， xn) + g(x， . . . ， xn)) ⩽ max{deg f (x， . . . ， xn)， deg g(x， . . . ， xn)}． 对 n 元多项式的加法，容易验证下述公理成立： (A1) 结合律 对任意 f (x， x， . . . ， xn)， g(x， x， . . . ， xn)和 h(x， x， . . . ， xn) ∈F[x， x， . . . ， xn]， ( f (x， x， . . . ， xn) + g(x， x， . . . ， xn)) + h(x， x， . . . ， xn) = f (x， x， . . . ， xn) + (g(x， x， . . . ， xn) + h(x， x， . . . ， xn))； (A2) 交换律 对任意 f (x， x， . . . ， xn)， g(x， x， . . . ， xn) ∈ F[x， x， . . . ， xn]， f (x， x， . . . ， xn) + g(x， x， . . . ， xn) = g(x， x， . . . ， xn) + f (x， x， . . . ， xn)； (A3) 存在零多项式 每个系数都为零的 n 元多项式称为零多项式，记为 ，同 时零多项式的次数约定为 −∞．显然， ∈ F[x， x， . . . ， xn]，并且对任意 f (x， x， . . . ， xn) ∈ F[x， x， . . . ， xn]， f (x， x， . . . ， xn) +  =  + f (x， x， . . . ， xn) = f (x， x， . . . ， xn)； (A4) 存在负多项式 设 f (x， x， . . . ， xn) = ∑ (k，k ，.，kn )∈M ak k⋯kn x k  x k  ⋯x kn n ∈ F[x， x， . . . ， xn]．

51.7多元多项式环 ·29 多项式 ∑（-a%ak)[x1,x2,xn] (.)eM 称为f(x,x2,xn)的负多项式.记为-f(x,2,xn).显然。 f,x2,xm)+(-f(m,2,xn)）=0=（-f(x,xn)）+f(x,x2,xn): 设 f 是数域F上的n元多项式又令m:=十2，且定 M={(m.m2.m)(k.k2.k)eM(eem)Ma 则f(,x)与g(x,xx)的乘积fx。 8,x)规定 f（x1,x2,xn)g(,x2, X=c 其中 akkkbeea 显然，f(,2,.,xn)g(x,2,x)∈F[x,x2,并且其片项系数等于 f,2,)与g(,2x)的首项系数的乘积即胞 deg(())-deg f()d). 此外，对元多项式的乘法，乘法结合律、乘法交换律以及乘法对加法的分配 律成立.同时，对任意f(,x)eF[西，2. x均有 其中1是数域上的零次多项式。 于是，x在上述多项式的加法与乘法下构成个交换环它称 为数域F上的元多项式环. 习题○1.7 1.设f(,2,xg, x1证明，如果 为零多项式，则f(1,x2,x)与g(x,2,.,x)至少有一个是零多项式. 2.设f(,.xg(,2.x).h(,.x)eF[,.x小证明，如果 f(x,x2,xn)g(x1,x3,.,xn)=f(x,x2,.,x)h(x1,x2,.。,xm), 则g(,x2,xn)=h(,2xa 3.验证F[,x2,x]在n元多项式的加法与乘法下成为一个交换环

´ §1.7 多元多项式环 ⋅ 29 ⋅ 多项式 ∑ (k，k ，.，kn )∈M (−ak k⋯kn )x k  x k  ⋯x kn n ∈ F[x， x， . . . ， xn] 称为 f (x， x， . . . ， xn) 的负多项式．记为 −f (x， x， . . . ， xn)．显然， f (x， x， . . . ， xn) + (−f (x， x， . . . ， xn)) =  = (−f (x， x， . . . ， xn)) + f (x， x， . . . ， xn)． 设 f (x， x， . . . ， xn) = ∑ (k，k ，.，kn )∈M ak k⋯kn x k  x k  ⋯x kn n ， g(x， x， . . . ， xn) = ∑ (ℓ，ℓ ，.，ℓn )∈M bℓ ℓ⋯ℓn x ℓ  x ℓ  ⋯x ℓn n ， 是数域 F 上的 n 元多项式．又令 mi = ki + ℓi，i = ， ， . . . ， n，且记 M = {(m， m， . . . ， mn) ∣ (k， k， . . . ， kn) ∈ M， (ℓ， ℓ， . . . ， ℓm) ∈ M}． 则 f (x， x， . . . ， xn) 与 g(x， x， . . . ， xn) 的乘积 f (x， x， . . . ， xn)g(x， x， . . . ， xn) 规定 为 f (x， x， . . . ， xn)g(x， x， . . . ， xn) = ∑ (m，m ，.，mn )∈M cmm⋯mn x m  x m  ⋯x mn n ， 其中 cmm⋯mn = ∑ ⩽j⩽n k j+ℓ j=mj ak k⋯kn bℓ ℓ⋯ℓn． 显然，f (x， x， . . . ， xn)g(x， x， . . . ， xn) ∈ F[x， x， . . . ， xn]，并且其首项系数等于 f (x， x， . . . ， xn) 与 g(x， x， . . . ， xn) 的首项系数的乘积，即 deg( f (x， x， . . . ， xn)g(x， x， . . . ， xn)) = deg f (x， x， . . . ， xn) + deg g(x， x， . . . ， xn)． 此外，对 n 元多项式的乘法，乘法结合律、乘法交换律以及乘法对加法的分配 律成立．同时，对任意 f (x， x， . . . ， xn) ∈ F[x， x， . . . ， xn]，均有  ⋅ f (x， x， . . . ， xn) = f (x， x， . . . ， xn) = f (x， x， . . . ， xn) ⋅ ， 其中  是数域 F 上的零次多项式． 于是，F[x， x， . . . ， xn] 在上述多项式的加法与乘法下构成一个交换环．它称 为数域 F 上的 n 元多项式环． 习 题 1.7 1. 设 f (x， x， . . . ， xn)， g(x， x， . . . ， xn) ∈ F[x， x， . . . ， xn]．证明，如果 f (x， x， . . . ， xn)g(x， x， . . . ， xn) 为零多项式，则 f (x， x， . . . ， xn) 与 g(x， x， . . . ， xn) 至少有一个是零多项式． 2. 设 f (x， x， . . . ， xn)， g(x， x， . . . ， xn)， h(x， x， . . . ， xn) ∈ F[x， x， . . . ， xn]．证明，如果 f (x， x， . . . ， xn)g(x， x， . . . ， xn) = f (x， x， . . . ， xn)h(x， x， . . . ， xn)， 则 g(x， x， . . . ， xn) = h(x， x， . . . ， xn)． 3. 验证 F[x， x， . . . ， xn] 在 n 元多项式的加法与乘法下成为一个交换环．

30. 第一章多项式州 §1.8对称多项式 设F[,x2,x]是数域F上的n元多项式环.在n元多项式中，经常遇到 的是所谓对称多项式.其定义如下 定义1.8.1设f(,x 两2图 ，xm]如果对自然数1,2，n的 任意一个排列i2,都有 ,xn】xx2x, 则f(x1,x2,x.)称为n元对称多项式 例如，容易看出欧 十xmX2X3+ 2Xm+.+xm-1比m= 都是元对称多项式它们称为n元基本对称多项式 可验证，两个元对称多项式之和、差与积仍是n元对称多项式. 此外，对任意多项式fx,x2,xn)∈F[k1,x2,xn],如果用基本对称多项 式02,0分别替换fx,x2,xn）中的未定元，xm,得到f(,o2, ,0),则f八G,》是一个关于未定元，x2,xm的对称多项式.例如取 n=3,f+2的,x.用o++x,2+x 与=xx分别替换2)的未定元，得到/ 显然，它是一个元对称多项式反之，有 定理1.81（对称多项式基本定理）设了(，是数域上的元对称 多项式则存在唯一的多项武行 ,xn,使得 f(2.)=g(.o). 其中1,2，n是数域F上的n元基本对称多项式. 证明存在性设对称多项式f(,x2,x)的首项为 akaka 则一定有k≥k2≥.≥km否则，将有某个j,使得k<k#由于f(,x2,xn)

⋅ 30 ⋅ 第一章 多 项 式 ¹ §1.8 对称多项式 设 F[x， x， . . . ， xn] 是数域 F 上的 n 元多项式环．在 n 元多项式中，经常遇到 的是所谓对称多项式．其定义如下： 定义 1.8.1 设 f (x， x， . . . ， xn) ∈ F[x， x， . . . ， xn]．如果对自然数 ， ， . . . ， n 的 任意一个排列 i i⋯in，都有 f (xi ， xi ， . . . ， xin ) = f (x， x， . . . ， xn)， 则 f (x， x， . . . ， xn) 称为 n 元对称多项式． 例如，容易看出， σ = x + x + ⋯ + xn = ∑ ⩽i⩽n xi ， σ = xx + ⋯ + xxn + xx + ⋯ + xxn + ⋯ + xn−xn = ∑ ⩽i<i⩽n xi xi ， ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ σk = ∑ ⩽i<i<⋯<ik⩽n xi xi⋯xik ， ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ σn = xx⋯xn， 都是 n 元对称多项式．它们称为 n 元基本对称多项式． 可验证，两个 n 元对称多项式之和、差与积仍是 n 元对称多项式． 此外，对任意多项式 f (x， x， . . . ， xn) ∈ F[x， x， . . . ， xn]，如果用基本对称多项 式 σ， σ， . . . ， σn 分别替换 f (x， x， . . . ， xn) 中的未定元 x， x， . . . ， xn，得到 f (σ， σ， . . . ， σn)，则 f (σ， σ， . . . ， σn) 是一个关于未定元 x， x， . . . ， xn 的对称多项式．例如取 n = ，f (x， x， x) = xx +x ∈ R[x， x， x]．用 σ = x +x +x，σ = xx +xx +xx 与 σ = xxx 分别替换 f (x， x， x) 的未定元 x， x， x，得到 f (σ， σ， σ) = σσ + σ = x   x + x   x + xx   + xx   + x   x + xx   + xxx， 显然，它是一个三元对称多项式．反之，有 定理 1.8.1（对称多项式基本定理）设 f (x， x， . . . ， xn) 是数域 F 上的 n 元对称 多项式．则存在唯一的多项式 g(x， x， . . . ， xn) ∈ F[x， x， . . . ， xn]，使得 f (x， x， . . . ， xn) = g(σ， σ， . . . ， σn)， 其中 σ， σ， . . . ， σn 是数域 F 上的 n 元基本对称多项式． 证明 存在性 设对称多项式 f (x， x， . . . ， xn) 的首项为 ak k⋯kn x k  x k  ⋯x kn n ， 则一定有 k ⩾ k ⩾ ⋯ ⩾ kn．否则，将有某个 j，使得 kj < kj+．由于 f (x， x， . . . ， xn)

451.8对称多项式 ·31 是对称的，则通过对换未定元和x1便可着出，f(x1,x2,xn)含有项 ak.x中x空. 显然，按字典排列法它应排在项a.k,xx.x女之前，这和ag.k,xxx为 f(:,x2,x)的首项的假设相矛盾 取n元对称多项式(，.)为 p1(x1,x2,xn）aa K.O - 容易看出，m,2,0n的首项依次是x,x 因此9(，x2,x） 的首项为a.k.xx空.始于是， f(x.x.)=f(x.x2. 是数域F上的n元对称多项式. 如果(，x2,xn)是零多项式，则f八x,p(1,x xn)是关 于m,2,0的多项式 如果f(,2,xn)是非零多项式，则f(,2 的首须a好 x资应在(x,x2,xn)的首项b62x中x好x始之前，其中23记 92(,x=bg.o 则数域F上的n元对称多项式 f(,x2,xa)=f(x,x2,)9(xx2, 为零多项式，或为非零多项式，并且(x1,x2,光，}的消项在2，x%)的 首项之前 设(，xx)为非零多项式 重复上述过程，得到对称多项武序列 (2,.x)=f,x .76,o ）=f(,x2,x） 7p4(,x2 .x). 其中的消项前.=。.尊 x)是关于,o2,0n的多项式，而且f(xx,x)的首 项在f+1(,x2 设f(,X的首项为cx则m≥m2≥.≥m,并且 由于f(,2.)的项在，的项之前，故k≥m 因为适合k≥m的非负整数m,只有有限多个，而且对每个适合k1≥m1的非 负整数m1,适合m1≥m2≥.≥mn的n元非负整数组(m1,m2,.,mm)也只有有限 多个，因此存在某个j,使得f(:,x2,x)=0.于是， f（x,x)=9(,xn）+92(,xn)+.+9(名，xn） 这就证明，f(,x2,xn)可以表为系数在F中的关于1,2，0m的多项式

´ §1.8 对称多项式 ⋅ 31 ⋅ 是对称的，则通过对换未定元 xj 和 xj+ 便可着出，f (x， x， . . . ， xn) 含有项 ak k⋯kn x k  x k  ⋯x k j− j− x k j+ j x k j j+ x k j+ j+ ⋯x kn n ． 显然，按字典排列法它应排在项 ak k⋯kn x k  x k  ⋯x kn n 之前，这和 ak k⋯kn x k  x k  ⋯x kn n 为 f (x， x， . . . ， xn) 的首项的假设相矛盾． 取 n 元对称多项式 ϕ(x， x， . . . ， xn) 为 ϕ(x， x， . . . ， xn) = ak k⋯kn σ k−k  σ k−k  ⋯σ kn−−kn n− σ kn n ． 容易看出，σ，σ，. . . ，σn 的首项依次是 x，xx，. . . ，xx⋯xn．因此，ϕ(x， x， . . . ， xn) 的首项为 ak k⋯kn x k  x k  ⋯x kn n ．于是， f(x， x， . . . ， xn) = f (x， x， . . . ， xn) − ϕ(x， x， . . . ， xn) 是数域 F 上的 n 元对称多项式． 如果 f(x， x， . . . ， xn) 是零多项式，则 f (x， x， . . . ， xn) = ϕ(x， x， . . . ， xn) 是关 于 σ， σ， . . . ， σn 的多项式． 如果 f(x， x， . . . ， xn)是非零多项式，则 f (x， x， . . . ， xn)的首项 ak k⋯kn x k  x k  ⋯ x kn n 应在 f(x， x， . . . ， xn) 的首项 bℓ ℓ⋯ℓn x ℓ  x ℓ  ⋯x ℓn n 之前，其中 ℓ ⩾ ℓ ⩾ ⋯ ⩾ ℓn．记 ϕ(x， x， . . . ， xn) = bℓ ℓ⋯ℓn σ ℓ−ℓ  σ ℓ−ℓ  ⋯σ ℓn−−ℓn n− σ ℓn n ． 则数域 F 上的 n 元对称多项式 f(x， x， . . . ， xn) = f(x， x， . . . ， xn) − ϕ(x， x， . . . ， xn) 为零多项式，或为非零多项式，并且 f(x， x， . . . ， xn) 的首项在 f(x， x， . . . ， xn) 的 首项之前． 设 f(x， x， . . . ， xn) 为非零多项式．重复上述过程，得到对称多项式序列： f(x， x， . . . ， xn) = f (x， x， . . . ， xn)， f(x， x， . . . ， xn) = f(x， x， . . . ， xn) − ϕ(x， x， . . . ， xn)， ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ fi+(x， x， . . . ， xn) = fi(x， x， . . . ， xn) − ϕi+(x， x， . . . ， xn)， 其中 ϕi+(x， x， . . . ， xn) 是关于 σ， σ， . . . ， σn 的多项式，而且 fi(x， x， . . . ， xn) 的首 项在 fi+(x， x， . . . ， xn) 的首项之前，i = ，， . . . ． 设 fi(x， x， . . . ， xn) 的首项为 cmm⋯mn x m  x m  ⋯x mn n ，则 m ⩾ m ⩾ ⋯ ⩾ mn，并且 由于 f (x， x， . . . ， xn) 的首项在 fi(x， x， . . . ， xn) 的首项之前，故 k ⩾ m． 因为适合 k ⩾ m 的非负整数 m 只有有限多个，而且对每个适合 k ⩾ m 的非 负整数 m，适合 m ⩾ m ⩾ ⋯ ⩾ mn 的 n 元非负整数组 (m， m， . . . ， mn) 也只有有限 多个，因此存在某个 j，使得 fj(x， x， . . . ， xn) = ．于是， f (x， . . . ， xn) = ϕ(x， . . . ， xn) + ϕ(x， . . . ， xn) + ⋯ + ϕj(x， . . . ， xn)． 这就证明，f (x， x， . . . ， xn) 可以表为系数在 F 中的关于 σ， σ， . . . ， σn 的多项式．

32 第一章多项式州 唯一性设存在g(,x,xn）,h(x,x2,xn)eF[,xn],使得 f(x1,x2,xn)=g(a,02,0n)=h(C,02,n） (1.8.1) 设g(x.x)与h(.x)的首项分别为 akkk,xxx与bg6t,xx好x 于是， gom(1,2,x).2(x2x,0n(1,2,.,xm)）】 的首项为 h(oi元a(x ,xn）,0n(x,x2,x】 的首项为 +6ax9+46.x 由式81)，ab,并且 +3+kn=+2+.+m kn-1+kn En-1+en kn =en. 由此得到k，2=2 ,kn=已.即g(,x2,xn)与h(x,x,xn)具有相 同的首项从g(x 与h(,x,.于 ,xn)中各减去首项，分别记为g(x, xx与h(显然， g1(G(x2,x02(2,xn .,xn)） e(om(x,xn),o(,x2,xn),0(,.,xn), 上式是关于的对称多项式，记为】 (2,x) 再对，x,()与h, 可证明 用吐述证明，如此 x入=h(x,X2, ■ 定理1.8.1中关于存在性部分的证明是构造性的，它给出了对称多项式表为关 于基本对称多项式，2，.，的多项式的具体方法， 各个项次数相等的多项式称为齐次多项式，否则称为非齐次多项式. 例如，多项式 是一个三次齐次多项式 对于给定的m次齐次多项式f(x1,x2,xn),可以把它的同次项归并在一起

⋅ 32 ⋅ 第一章 多 项 式 ¹ 唯一性 设存在 g(x， x， . . . ， xn)， h(x， x， . . . ， xn) ∈ F[x， x， . . . ， xn]，使得 f (x， x， . . . ， xn) = g(σ， σ， . . . ， σn) = h(σ， σ， . . . ， σn)． (1.8.1) 设 g(x， x， . . . ， xn) 与 h(x， x， . . . ， xn) 的首项分别为 ak k⋯kn x k  x k  ⋯x kn n 与 bℓ ℓ⋯ℓn x ℓ  x ℓ  ⋯x ℓn n ． 于是， g(σ(x， x， . . . ， xn)， σ(x， x， . . . ， xn)， . . . ， σn(x， x， . . . ， xn)) 的首项为 ak k⋯kn x k  (xx) k⋯(xx⋯xn) kn = ak k⋯kn x k+k+⋯+kn  x k+⋯+kn  ⋯x kn n ， 而 h(σ(x， x， . . . ， xn)， σ(x， x， . . . ， xn)， . . . ， σn(x， x， . . . ， xn)) 的首项为 bℓ ℓ⋯ℓn x ℓ+ℓ+⋯+ℓn  x ℓ+⋯+ℓn  ⋯x ℓn n ． 由式 (1.8.1)，ak k⋯kn = bℓ ℓ⋯ℓn，并且 k + k + ⋯ + kn = ℓ + ℓ + ⋯ + ℓn， k + k + ⋯ + kn− = ℓ + ℓ + ⋯ + ℓn−， ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ kn− + kn = ℓn− + ℓn， kn = ℓn． 由此得到 k = ℓ，k = ℓ，. . . ，kn = ℓn．即 g(x， x， . . . ， xn) 与 h(x， x， . . . ， xn) 具有相 同的首项．从 g(x， x， . . . ， xn) 与 h(x， x， . . . ， xn) 中各减去首项，分别记为 g(x， x， . . . ， xn) 与 h(x， x， . . . ， xn)．显然， g(σ(x， x， . . . ， xn)， σ(x， x， . . . ， xn)， . . . ， σn(x， x， . . . ， xn)) = h(σ(x， x， . . . ， xn)， σ(x， x， . . . ， xn)， . . . ， σn(x， x， . . . ， xn))， 上式是关于 x， x， . . . ， xn 的对称多项式，记为 f(x， x， . . . ， xn)． 再对 f(x， x， . . . ， xn)，g(x， x， . . . ， xn) 与 h(x， x， . . . ， xn) 用上述证明，如此 继续，即可证明 g(x， x， . . . ， xn) = h(x， x， . . . ， xn) ∎ 定理 1.8.1 中关于存在性部分的证明是构造性的，它给出了对称多项式表为关 于基本对称多项式 σ， σ， . . . ， σn 的多项式的具体方法． 各个项次数相等的多项式称为齐次多项式，否则称为非齐次多项式． 例如，多项式 g(x， x， . . . ， xn) = ∑ ⩽i<j⩽n x  i xj 是一个三次齐次多项式． 对于给定的 m 次齐次多项式 f (x， x， . . . ， xn)，可以把它的同次项归并在一起