《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）具有某些特性的函数

§4具有某些特性的函数 本节将着重讨论函数的有界性、单 调性、奇偶性与周期性. 一、有界函数 二、单调函数 三、奇函数与偶函数 四、周期函数 前页 后页 返回

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一、有界函数 定义1设定义在D上. 若]M∈R,x∈D,f(x)≤M,则称f在D上有上界； 若L∈R,x∈D,fx)≥L,则称f在D上有下界， 若M∈R,x∈D,fx)≤M,则称f在D上有界. 易证f在D上有界一f在D上既有上界又有下界 若VM∈R,3x∈D,fx)>M,则称f在D上无上 界； 前页 后页 返回

前页 后页 返回 一、有界函数 定义1 设 f 定义在D上. 若 则称 在 上有上界；      M x D f x M f D R, , ( ) , 若 则称 在 上有下界；      L x D f x L f D R, , ( ) , 若 则称 在 上有界      M x D f x M f D R, , ( ) , . 易证 f 在D上有界  f 在D上既有上界又有下界. 若 则称 在 上无上      M x D f x M f D R, , ( ) , 0 0 界；

若VL∈R,x∈D,fx)<L,则称f在D上无下界； 若VMER,3x∈D,fx)>M,则称f在D上无界. 例1求证：fx)=tanx在0，)上无上界，有下界。 证L=0,则c∈0,2)，f)≥L,因此f在 [0,)上有下界.VM∈R,令x,=arctan(M+l), 则xe0,且tanx=M+1>M,因此f在 I0,2)上无上界 前页 边

前页 后页 返回 若 则称 在 上无界      M x D f x M f D R, , ( ) , . 0 0 π : ( ) tan [0, ) , . 2 例1 求证 f x x = 在 上无上界 有下界 π [0, ) . 2 上有下界   = + M x M R, arctan( 1), 令 0 π [0, ) . 2 上无上界 π 0 [0, ), ( ) , 2 证 L x f x L =    ，则 因此 f 在 0 0 π [0, ), tan 1 , 2 则 x x M M  = +  且 因此 f 在 若     L x D f x L f D R, , ( ) , 0 0 则称 在 上无下界；

例2设函数f(x),g(x)是D上的正值有界函数. 求证：sup{f(x)g(x)}≤sup{f(x)sup{g(x). x∈D x∈D X∈D 证x∈D,f(x)≤sup{f(x)}, g()≤sup{8(x)}, 因此f(x)g(x)≤sup{f(x)}suP{g(x)}, 由x的任意性，可知sup{f(x)}sup{g(x)} 是{f(x)g(x)的一个上界， 因此sup{f(x)g(x)}≤sup{f(x)}sup{g(x)》. XED XED x∈D 前页 返回

前页 后页 返回 g(x)  sup{g(x)}, 因此 f x g x f x g x ( ) ( ) sup{ ( )}sup{ ( )},  由 x f x g x 的任意性, sup{ ( )}sup{ ( )} 可知 是{ f (x)g(x)}的一个上界, sup{ f (x)g(x)} sup{ f (x)}sup{g(x)}. xD xD xD 因此  证    x D f x f x , ( ) sup{ ( )}, : sup{ f (x)g(x)} sup{ f (x)}sup{g(x)}. xD xD xD 求证  例2 设函数 f x g x D ( ), ( ) . 是 上的正值有界函数

例3设f(x),g(x)在D上有界，证明： inf{f(x)+g(x))<inf{f(x))+supfg(x)). x∈D x∈D 证Vε>0,3x∈D,f(xo)<inf{f(x)}+&. 又g(xn)≤sup{g(x)},故 XED f(xo)+g(xo)<inf{f(x))+supig(x)+8. x∈D 因此 ife)+g(x}≤fx)+gx) inf{f (x))+sup(g(x)). x∈D x∈D 前页

前页 后页 返回 例3 设 f x g x D ( ), ( ) 在 上有界,证明: inf{ ( ) ( )} inf{ ( )} sup{ ( )}. x D x D x D f x g x f x g x    +  + 证 0 0 0, , ( ) inf{ ( )} . x D   x D f x f x       + 0 ( ) sup{ ( )}, x D g x g x  又  故 0 0 ( ) ( ) inf{ ( )} sup{ ( )} . x D x D f x g x f x g x    +  + + 因此 0 0 inf{ ( ) ( )} ( ) ( ) x D f x g x f x g x  +  + inf{ ( )} sup{ ( )}. x D x D f x g x    +