18 第一章多项式州 p(x)(u(x)g(x))+(f(x)g(x))v(x)=g(x) 由此即知，p(x)川g(x): ■ 下面是本节的主要定理。 定理1.4.1（唯一析因定理）设n次多项式f(x)∈F[x],则存在数域F上的不 可约多项式p(x),p2(x),p(x)F[,使得 (p(P,(x) 如果另有不可约多其4e使得 则s=4,并且可以适当调动因式的次序，使得 i()a.p.(). 其中a12 如果不可约多项式p(整除多项式(x),则p(x)称为fx)的不可约因式 把多项式分解为若于个不可约因式的乘积，称为对fx)施行不可约分解.于 是，定理11可以简单叙述为：之 每个多项式都可以分解为不可约因式的乘积，而且如果不计不可约因式的次 序和零次因式，这种不可约分解是唯一的. 证明存在性对多项式的次数n用归纳法 显然， 次多项式在数域罩上都是不可约的，因此结论对n=1成立.假设结论 对次数小于的多项式都成立，下面证明结论对n次多项式f(x)成立. 知果本身在上不间约，则fx)的不可约分解由自身组成：如果f(x) 在F上可约，则存在次数小于n的多项式g(x),h(x)∈F[x]使得 f(x)=g(x)h() 由于g(x)和()的次数都小于n,故由归纳假设，存在不可约多项式p(x), p(x.Px)和p的，2(sF,使得 ())()p().h(x)=p(x)p() p. 于是 唯一性现在设多项式和)俱有两个不可约分解，即设 f（x)=p1(x)p2(x)p,(x)=9i())q.(x). (1.4.1) 因为9(x)在F上不可约，并且9(x)p(x)p2(x)p,(x),因此，由性质1.4.3， 存在某1≤i≤s使得g(x)川p:(x).适当地调整不可约因式p(x,pP(x,p,(x) 的次序，可设q(x)川p(x).由于p(x)在F上不可约，因此，存在aeF使得p(x)= a1q(x).于是由式(1.4.1)得到：
⋅ 18 ⋅ 第一章 多 项 式 ¹ p(x)(u(x)g(x)) + ( f (x)g(x))v(x) = g(x)． 由此即知，p(x) ∣ g(x)． ∎ 下面是本节的主要定理． 定理 1.4.1（唯一析因定理）设 n 次多项式 f (x) ∈ F[x]，则存在数域 F 上的不 可约多项式 p(x)， p(x)， . . . ， ps(x) ∈ F[x]，使得 f (x) = p(x)p(x)⋯ps(x)． 如果另有不可约多项式 q(x)， q(x)， . . . ， qt(x) ∈ F[x]，使得 f (x) = q(x)q(x)⋯qt(x)， 则 s = t，并且可以适当调动因式的次序，使得 qi(x) = ai pi(x)， 其中 ai ∈ F，i = ， ， . . . ，s． 如果不可约多项式 p(x) 整除多项式 f (x)，则 p(x) 称为 f (x) 的不可约因式． 把多项式 f (x) 分解为若干个不可约因式的乘积，称为对 f (x) 施行不可约分解．于 是，定理 1.4.1 可以简单叙述为： 每个多项式都可以分解为不可约因式的乘积，而且如果不计不可约因式的次 序和零次因式，这种不可约分解是唯一的． 证明 存在性 对多项式的次数 n 用归纳法． 显然，一次多项式在数域 F 上都是不可约的，因此结论对 n = 成立．假设结论 对次数小于 n 的多项式都成立，下面证明结论对 n 次多项式 f (x) 成立． 如果 f (x) 本身在 F 上不可约，则 f (x) 的不可约分解由自身组成；如果 f (x) 在 F 上可约，则存在次数小于 n 的多项式 g(x)， h(x) ∈ F[x]，使得 f (x) = g(x)h(x)． 由于 g(x) 和 h(x) 的次数都小于 n，故由归纳假设，存在不可约多项式 p(x)， p(x)， . . . ， pk (x) 和 pk+(x)， . . . ， ps(x) ∈ F[x]，使得 g(x) = p(x)p(x)⋯pk (x)， h(x) = pk+(x)pk+(x)⋯ps(x)． 于是， f (x) = p(x)p(x)⋯pk (x)pk+(x)⋯ps(x)． 唯一性 现在设多项式 f (x) 具有两个不可约分解，即设 f (x) = p(x)p(x)⋯ps(x) = q(x)q(x)⋯qt(x)． (1.4.1) 因为 q(x) 在 F 上不可约，并且 q(x) ∣ p(x)p(x)⋯ps(x)，因此，由性质 1.4.3， 存在某 ⩽ i ⩽ s 使得 q(x) ∣ pi(x)．适当地调整不可约因式 p(x)， p(x)， . . . ， ps(x) 的次序，可设 q(x) ∣ p(x)．由于 p(x) 在 F 上不可约，因此，存在 a ∈ F 使得 p(x) = aq(x)．于是由式 (1.4.1) 得到：
451.4唯一析因定理 ·19 (ap2(x)p3(x.p(x)=q2(x)q3(x).q(x)=g(x). (1.4.2) 由性质1.41，aP2(x)在F上不可约.因此式(14.2)是次数小于n的多项式 g(x)的两个不可约分解，根据归纳假设得到，s-1=t-1,即s=t.并且可适当调整 不可约因式a1P2(x),p3(x),p,(x)的次序，使得 9(x)=ap2(x.9s(xp3(x9.(x)=a,p.(x), 其中a5,a3,a,eF.记aa1=2,则得到g()ap(r),i=1,2,s. ■ 应当指出，如果要求数域正的不可约多项式是首的，期由定理141直接 得到，存在首一不可约多项式PP(不中，使得多项式f(x)可以 表为 f(x)=doP:(x)p:()p) 其中为f)的首项系数.对于多项式)的这种不句约分解，除不可约因 式的次序外是唯一的. 一般地说，出现在多项式f(x)的一个不可约分解中的不可约因式不一定都不 相同.如果不可约因式p(x)不只出现一次，则p)称为f()的重因式，否期称为 单因式.如果p(x)恰好出现k次，则p(x)称为()的k重因式 设多项式f(x)具有不可约分解 f(x)=aopi(x)p2(x)P:(x) (1.4.3) 其中p(x),P2(x,Pp(x)是不可约的首一多项式，是f(的首项系数.又 设分解式(143)中所有不同的不可约因式为P(化)P(的：P它们分别是 fx)的k,k,k:重因式，则式(14列可以写成新 fx)=ap(x)p咚(x)pe 144 设多项式f(x)和g(x)的所有不同的首一不可约因式分别为(x),(),. h,(x)和x),q2(),9,(x),它们的并集记为{PGx)P2(x)p(x)则f(x) 与g(x)的不可约分解可以表为 fx沿ap(x)pCx)) g(x)=bop(x)p(() 其中a,与b0分别是和3的首项系数，而k与，是非负整数，i=1,2,2. 于是，f(x)与g()的最大公因式为 其中m,=min{k,ei},i=l,2,.,e
´ §1.4 唯一析因定理 ⋅ 19 ⋅ (a p(x))p(x)⋯ps(x) = q(x)q(x)⋯qt(x) = g(x)． (1.4.2) 由性质 1.4.1，a p(x) 在 F 上不可约．因此式 (1.4.2) 是次数小于 n 的多项式 g(x) 的两个不可约分解，根据归纳假设得到，s − = t − ，即 s = t．并且可适当调整 不可约因式 a p(x)， p(x)， . . . ， ps(x) 的次序，使得 q(x) = a ′ a p(x)， q(x) = a p(x)， . . . ， qs(x) = as ps(x)， 其中 a ′ ， a， . . . ， as ∈ F．记 a ′ a = a，则得到 qi(x) = ai pi(x)，i = ， ， . . . ，s． ∎ 应当指出，如果要求数域 F 上的不可约多项式是首一的，则由定理 1.4.1 直接 得到，存在首一不可约多项式 p(x)， p(x)， . . . ， ps(x) ∈ F[x]，使得多项式 f (x) 可以 表为 f (x) = a p(x)p(x)⋯ps(x)， 其中 a 为 f (x) 的首项系数．对于多项式 f (x) 的这种不可约分解，除了不可约因 式的次序外是唯一的． 一般地说，出现在多项式 f (x) 的一个不可约分解中的不可约因式不一定都不 相同．如果不可约因式 p(x) 不只出现一次，则 p(x) 称为 f (x) 的重因式，否则称为 单因式．如果 p(x) 恰好出现 k 次，则 p(x) 称为 f (x) 的 k 重因式． 设多项式 f (x) 具有不可约分解 f (x) = a p(x)p(x)⋯ps(x)， (1.4.3) 其中 p(x)， p(x)， . . . ， ps(x) 是不可约的首一多项式，a 是 f (x) 的首项系数．又 设分解式 (1.4.3) 中所有不同的不可约因式为 p(x)， p(x)， . . . ， pℓ(x)，它们分别是 f (x) 的 k， k， . . . ， kℓ 重因式，则式 (1.4.3) 可以写成 f (x) = a p k (x)p k (x)⋯p kℓ ℓ (x)． (1.4.4) 设多项式 f (x) 和 g(x) 的所有不同的首一不可约因式分别为 h(x)， h(x)， . . . ， hs(x)和 q(x)， q(x)， . . . ， qs(x)．它们的并集记为{p(x)， p(x)， . . . ， pℓ(x)}．则 f (x) 与 g(x) 的不可约分解可以表为 f (x) = a p k (x)p k (x)⋯p kℓ ℓ (x)， g(x) = b p e (x)p e (x)⋯p eℓ ℓ (x)， 其中 a 与 b 分别是 f (x) 和 g(x) 的首项系数，而 ki 与 ei 是非负整数，i = ， ， . . . ， ℓ． 于是，f (x) 与 g(x) 的最大公因式为 ( f (x)， g(x)) = p m (x)p m (x)⋯p mℓ ℓ (x)， 其中 mi = min{ki，ei}，i = ， ， . . . ， ℓ．
20. 第一章多项式州 §1.5实系数与复系数多项式 系数都是实数或者都是复数的多项式分别称为实系数或复系数多项式.这节 讨论实系数多项式与复系数多项式的唯文析因理论.先证明以下的定理. 定理1.5.1数域上的h次多项式)在F上至多有n个不同的根，n≥1 证明设a是的不时的根，a4,eR下面对r用归纳 法证 事实上，当r=1时因为是fx)的根，故由因式定理，(x-a)川f(x). 假设结论对成文，现在证明结论对r成立.因为a,a2,a是f)的 根，故由归纳假设，()-a)(xar-川fx), ()(A)(x)-(x-a-)h(x). 其中h)由于，为的根，故 因为aa是了的木同的根，因此a,-a0,i2,-l所以h(a,)= 0.因式定理，)=(ea)g(x水于是， -ec-c ■ 定理5并没有告诉我们n次多项式f(x)eF[x]一定在数域F上有根.例 如，多项式+1在实数域R上就没有根。但是，当数域为复数域C时，有 定理1.52（代数基本定理）任意一个#次复系数多项式一定有复数根，n≥1. 这个定理是人们早就知道的.直到1797年，不十岁的德国大数学家Gauss才 第一个给出证明.后来Gus$又给出三个证明.由于十九世纪以前的代数是以研 究代数方程为中心的而这个定理对代数方程论又具有基本重要性，所以人们称它 为代数基本定理，这个定理的证明有的涉及复变函数论知识，面初等证明的篇幅 又嫌太长，这里就不给出了 利用代数基本定理容易证明， 定理15.3设fx)是任意-个次复系数多项式0，则f(恰有n个复 数根G,G2,Cn,而且 f(x)=ao(x-q)(x-c2）.(x-cn), (1.5.1) 其中ao是f八x)的首项系数 证明对多项式f(x)的次数n用归纳法.当n=1时定理显然成立， 假设定理对次数为n-1的多项式成立，f(x)是n次复系数多项式.由代数基
⋅ 20 ⋅ 第一章 多 项 式 ¹ §1.5 实系数与复系数多项式 系数都是实数或者都是复数的多项式分别称为实系数或复系数多项式．这节 讨论实系数多项式与复系数多项式的唯一析因理论．先证明以下的定理． 定理 1.5.1 数域 F 上的 n 次多项式 f (x) 在 F 上至多有 n 个不同的根，n ⩾ ． 证明 设 a， a， . . . ， ar 是 f (x) 的不同的根，a， a， . . . ， ar ∈ F．下面对 r 用归纳 法证明 (x − a)(x − a)⋯(x − ar) ∣ f (x)． 事实上，当 r = 时．因为 a 是 f (x) 的根，故由因式定理，(x − a) ∣ f (x)． 假设结论对 r − 成立，现在证明结论对 r 成立．因为 a， a， . . . ， ar− 是 f (x) 的 根，故由归纳假设，(x − a)(x − a)⋯(x − ar−) ∣ f (x)， f (x) = (x − a)(x − a)⋯(x − ar−)h(x)． 其中 h(x) ∈ F[x]．由于 ar 为 f (x) 的根，故 f (ar) = (ar − a)(ar − a)⋯(ar − ar−)h(ar) = ． 因为 a， a， . . . ， ar 是 f (x) 的不同的根，因此 ar −ai ≠ ，i = ， ， . . . ，r−．所以 h(ar) = ．由因式定理，h(x) = (x − ar)g(x)，于是， f (x) = (x − a)(x − a)⋯(x − ar−)(x − ar)g(x)． ∎ 定理 1.5.1 并没有告诉我们，n 次多项式 f (x) ∈ F[x] 一定在数域 F 上有根．例 如，多项式 x + 在实数域 R 上就没有根．但是，当数域 F 为复数域 C 时，有 定理 1.5.2（代数基本定理）任意一个 n 次复系数多项式一定有复数根，n ⩾ ． 这个定理是人们早就知道的．直到 1797 年，二十岁的德国大数学家 Gauss 才 第一个给出证明．后来 Gauss 又给出三个证明．由于十九世纪以前的代数是以研 究代数方程为中心的，而这个定理对代数方程论又具有基本重要性，所以人们称它 为代数基本定理．这个定理的证明有的涉及复变函数论知识，而初等证明的篇幅 又嫌太长，这里就不给出了． 利用代数基本定理容易证明， 定理 1.5.3 设 f (x) 是任意一个 n 次复系数多项式，n > ，则 f (x) 恰有 n 个复 数根 c，c， . . . ，cn，而且 f (x) = a(x − c)(x − c)⋯(x − cn)， (1.5.1) 其中 a 是 f (x) 的首项系数． 证明 对多项式 f (x) 的次数 n 用归纳法．当 n = 时定理显然成立． 假设定理对次数为 n − 的多项式成立，f (x) 是 n 次复系数多项式．由代数基
41.5实系数与复系数多项式 ·21 本定理，f(x)具有复数根q,由因式定理，f(x)=(x-G)g(x),其中g(x)为n-1次 复系数多项式。 由归纳假设，g(x)恰有n-1个复数根c2,C3,cm,并且 g(x)=ao(x-c2)(x-c3)-(x-cn). 于是，f(x)=a(x-(x-)-(x-5是然9是fx)的n个复数根。 而且ao是f(x)的首项系数. 应当说明，n次多项式f（x)的n个根，c,不定都不相同.如果f(x) 的根c在G1,c2,cn中出现k次，则c称为f(x)的k重根.1重根称为单根. 设n次多项式f(x)的所有不同的根为心G定们的重数分别为k,k, ,k,则f(x)的分解式(1.5.1)可以写为 fx)）=a(x-G)卢(. 其中正整数k1,k2,k,适合k+k2+.+k= 我们知道，复系数一次多项式一定是不可约的.，定理52表明，任何n次复系 数多项式f(x)在复数域上都是可约的，其中n≥2.因此，复系数多项式P在复 数域C上不可约的充分必要条件是egp(x)=1利用这十事实和s1④证明的唯 一析因定理，也可以直接得到定理153.所以，定理153是复系数多项式的唯一析 因定理 下面讨论实系数多项式的不可约分解 定理1.54实系数多项式f)的复数根共轭成对出现 证明设f(x)=anx”+an-1x" +ax+ao其中a, .an 且设c是 f(x)的复数根，则 上式两端取共纯，并注意a,是实数，i=12,则得到， 其中是e的共银夏数，即f不问-0.因此，也是f的根。 对复系数多项式，定埋1.54并不成立.例如，复系数多项式x2-ix=x(x-) 的根为0和，它们讲不共轭 由定理154可以知道，奇实系数多项式定有实数根。 定理1.5,5实系数多项式p在实数域上不可约，则p(x)的次数为1或2 证明反证法.设degp(x)=n≥3.根据定理1.5.2，作为复系数多项式，p(x) 具有复数根.如果p(x)具有实数根a,则由因式定理， p(x)=(x-a)f(x) 其中f(x)是实系数多项式.这表明，p(x)在实数域上可约，与假设矛盾
´ §1.5 实系数与复系数多项式 ⋅ 21 ⋅ 本定理，f (x) 具有复数根 c，由因式定理，f (x) = (x − c)g(x)，其中 g(x) 为 n − 次 复系数多项式． 由归纳假设，g(x) 恰有 n − 个复数根 c，c， . . . ，cn，并且 g(x) = a(x − c)(x − c)⋯(x − cn)． 于是，f (x) = a(x − c)(x − c)⋯(x − cn)．显然，c，c， . . . ，cn 是 f (x) 的 n 个复数根， 而且 a 是 f (x) 的首项系数． ∎ 应当说明，n 次多项式 f (x) 的 n 个根 c，c， . . . ，cn 不一定都不相同．如果 f (x) 的根 c 在 c，c， . . . ，cn 中出现 k 次，则 c 称为 f (x) 的 k 重根． 重根称为单根． 设 n 次多项式 f (x) 的所有不同的根为 c，c， . . . ，cs，它们的重数分别为 k， k， . . . ， ks，则 f (x) 的分解式 (1.5.1) 可以写为 f (x) = a(x − c) k (x − c) k⋯(x − cs) ks ， 其中正整数 k， k， . . . ， ks 适合 k + k + ⋯ + ks = n． 我们知道，复系数一次多项式一定是不可约的．定理 1.5.2 表明，任何 n 次复系 数多项式 f (x) 在复数域上都是可约的，其中 n ⩾ ．因此，复系数多项式 p(x) 在复 数域 C 上不可约的充分必要条件是 deg p(x) = ．利用这一事实和 §1.4 证明的唯 一析因定理，也可以直接得到定理 1.5.3．所以，定理 1.5.3 是复系数多项式的唯一析 因定理． 下面讨论实系数多项式的不可约分解． 定理 1.5.4 实系数多项式 f (x) 的复数根共轭成对出现． 证明 设 f (x) = an x n + an−x n− +⋯ + ax + a，其中 a， a， . . . ， an ∈ R，且设 c 是 f (x) 的复数根，则 f (c) = an c n + an−c n− + ⋯ + ac + a = ． 上式两端取共轭，并注意 ai 是实数，i = ， ， . . . ， n，则得到， an c n + an−c n− + ⋯ + ac + a = ． 其中 c 是 c 的共轭复数，即 f (c) = ．因此，c 也是 f (x) 的根． ∎ 对复系数多项式，定理 1.5.4 并不成立．例如，复系数多项式 x − ix = x(x − i) 的根为 和 i，它们并不共轭． 由定理 1.5.4 可以知道，奇次实系数多项式一定有实数根． 定理 1.5.5 实系数多项式 p(x) 在实数域上不可约，则 p(x) 的次数为 或 ． 证明 反证法．设 deg p(x) = n ⩾ ．根据定理 1.5.2，作为复系数多项式，p(x) 具有复数根．如果 p(x) 具有实数根 a，则由因式定理， p(x) = (x − a) f (x)， 其中 f (x) 是实系数多项式．这表明，p(x) 在实数域上可约，与假设矛盾．
,22 第一章多项式州 如果p(x)的根都是复数（不能是实数），则由定理1.5.4，n为偶数.设n=2k k≥2，且设a,G,c2,c2,c,c是p(x)的根.因此， p(x)=ao(x-c)(x-).(x-ck)(x-Ek). pi(x)=(x-ci)(x2-(ci+)x+ci 其中i=1,2,k.显然，P(x)是实系数的.因此，p(x)在实数域上可约，与假设 矛盾.这就证明，1≤deg()2 利用二次方程的判别式，容易知道，实二次多项式x之+px+q在实数域上不可 约的充分必要条件是，它的判别式p2-4g<0. 定理1.5.6h次实系数多项式f代(x)可分解为一次因式和二次不可约因式的 乘积，即 f(x)=ao( 1x2pxq(x2+p2x+q2).(x2+px+q),(1.5.2) 其中k和e是正整数，1≤3,1长j≤t,且 而n是的首顷数，G2,P,P2p,和9,9：都是实数，并且 Cp-4q)<0. 当然，如果)没有实根，则式(1.5.2)中的一次因式不出现；如果f(x)的根 都是实数，则次因武不出现. 证明这是54中唯一桥因定理和定理155的直接推论。 ◆ 习题1.5 1.把下列复系数多项式分解为次因式的乘积 )(xcos日+in0) -isin 0)"; (2)(x)-(x (3)x (-1)C (④x2m+C2 22 1)+Ci 4012+.+ 1 ⑤x2m1+CxC x2m-3x2-1)2+ +x(x 2.把下列实系数多项式分解为实的不可约因式的乘积 ()x+1; 3)x4+4x3+4x2+1: +2 (5)x-ax2+1,-2<a<2 64 3.证明，复系数多项式∫(x)对所有实数x恒取正值的充分必要条件是，存在没有实数根的 复系数多项式p(x),使得f(x)-lp(x) 4.证明，实系数多项式f(x)对所有实数x恒取非负实数值的充分必要条件是，存在实系数 多项式(x)和v(x),使得f(x)=p(x)+(x)
⋅ 22 ⋅ 第一章 多 项 式 ¹ 如果 p(x) 的根都是复数（不能是实数），则由定理 1.5.4，n 为偶数．设 n = k， k ⩾ ，且设 c，c，c，c， . . . ，ck ，ck 是 p(x) 的根．因此， p(x) = a(x − c)(x − c)⋯(x − ck )(x − ck )． 记 pi(x) = (x − ci)(x − ci) = x − (ci + ci)x + cici， 其中 i = ， ， . . . ， k．显然，pi(x) 是实系数的．因此，p(x) 在实数域上可约，与假设 矛盾．这就证明， ⩽ deg(x) ⩽ ． ∎ 利用二次方程的判别式，容易知道，实二次多项式 x + px + q 在实数域上不可 约的充分必要条件是，它的判别式 p − q < ． 定理 1.5.6 n 次实系数多项式 f (x) 可分解为一次因式和二次不可约因式的 乘积，即 f (x) = a(x − c) k (x − c) k⋯(x − cs) ks × (x + px + q) e (x + px + q) e⋯(x + ptx + qt) et ， (1.5.2) 其中 ki 和 ej 是正整数， ⩽ i ⩽ s， ⩽ j ⩽ t，且 k + k + ⋯ + ks + (e + e + ⋯ + et) = n， 而 a 是 f (x) 的首项系数，c，c， . . . ，cs，p， p， . . . ， pt 和 q， q， . . . ， qt 都是实数，并且 p j − qj < ． 当然，如果 f (x) 没有实根，则式 (1.5.2) 中的一次因式不出现；如果 f (x) 的根 都是实数，则二次因式不出现． 证明 这是 §1.4 中唯一析因定理和定理 1.5.5 的直接推论． ∎ 习 题 1.5 1. 把下列复系数多项式分解为一次因式的乘积． (1) (x + cos θ + i sin θ) n + (x + cos θ − i sin θ) n； (2) (x + ) n − (x − ) n； (3) x n − C n x n− + C n x n− + ⋯ + (−) nC n n； (4) x n + C n x n− (x − ) + C n x n− (x − ) + ⋯ + (x − ) n； (5) x n+ + C n+x n− (x − ) + C n+x n− (x − ) + ⋯ + x(x − ) n． 2. 把下列实系数多项式分解为实的不可约因式的乘积． (1) x + ； (2) x + ； (3) x + x + x + ； (4) x n − x n + ； (5) x − ax + ，− < a < ； (6) x n + x n + ． 3. 证明，复系数多项式 f (x) 对所有实数 x 恒取正值的充分必要条件是，存在没有实数根的 复系数多项式 ϕ(x)，使得 f (x) = ∣ϕ(x)∣． 4. 证明，实系数多项式 f (x) 对所有实数 x 恒取非负实数值的充分必要条件是，存在实系数 多项式 ϕ(x) 和 ψ(x)，使得 f (x) = ϕ (x) + ψ (x)．