W51.3整除性与最大公因式 ·13 Ad(x)=f(x)vi-i(x)+f(x)(uz-(x)-qi(x)vR-(x)). u(x)=Alvk-1(x),v(x)=A-(u-(x)-q1(x)k-(x)） 即得定理1.3.3. 容易看出，对两个不全为零的多项式f(x)与g(x),所有零次多项式都是它们 的公因式.如果f(x)与g(x)除零次多顶式外不含其它的公因式，则f(x)与g(x) 称为互素. 根据最大公因式的定义可以看出，两个多项式互素的充分必要条件是它们的 最大公因式为1.因此，由定理133直接得到 推论13.3 多项式f与g(x)互素当且仅当存在（与），使得 f(x)u(x)+g《x(x)1 (1.3.4) 关于两个多项式的互素，有以下性质 性质1.34设fx),gx),hx)是多项式，x)k,.)=1, 则 (f(x),g(x)h(x)=1 证明因为((x),g(x)=1,故存在多项式x)和v(x)使得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=1 上式两端同乘以h(x,得到 rc)(su 由此可知，如果多项式w(x)是fx)与gx)的公因式则w(也是f(x) 与(x)的公因式，由于(G(x),h(x)-1,因此w是零次多项式这表明f(x) 与g(x)h(x)除零次多项式外不含其它公因式，即f八x)与（互素 性质135设fx)g(x)与(x)是多项式，其中(三并且h(x)川 f(x)g(x),则 h(x)f() 证明因为g)x)=,故存在多项式(x)与x,使得 h()i(x)+g(x)v)1 上式两端同乘以 ()得到 )(g(x)fP丙=fx. 由此可知，h(x)川f(x). 性质13.6设f(x),g(x)与h(x)是多项式，f(x)h(x),g(x)川h(x),且 (f(x),g(x)=1, 则f(x)g(x)川h(x)
´ §1.3 整除性与最大公因式 ⋅ 13 ⋅ λd(x) = f(x)vk−(x) + f(x)(uk−(x) − q(x)vk−(x))． 取 u(x) = λ − vk−(x)， v(x) = λ − (uk−(x) − q(x)vk−(x))， 即得定理 1.3.3． ∎ 容易看出，对两个不全为零的多项式 f (x) 与 g(x)，所有零次多项式都是它们 的公因式．如果 f (x) 与 g(x) 除零次多项式外不含其它的公因式，则 f (x) 与 g(x) 称为互素． 根据最大公因式的定义可以看出，两个多项式互素的充分必要条件是它们的 最大公因式为 ．因此，由定理 1.3.3 直接得到 推论 1.3.3 多项式 f (x) 与 g(x) 互素当且仅当存在 u(x) 与 v(x)，使得 f (x)u(x) + g(x)v(x) = ． (1.3.4) 关于两个多项式的互素，有以下性质． 性质 1.3.4 设 f (x)， g(x)， h(x) 是多项式，( f (x)， g(x)) = ，( f (x)， h(x)) = ， 则 ( f (x)， g(x)h(x)) = ． 证明 因为 ( f (x)， g(x)) = ，故存在多项式 u(x) 和 v(x)，使得 f (x)u(x) + g(x)v(x) = ． 上式两端同乘以 h(x)，得到 f (x)(u(x)h(x)) + (g(x)h(x))v(x) = h(x)． 由此可知，如果多项式 w(x) 是 f (x) 与 g(x)h(x) 的公因式，则 w(x) 也是 f (x) 与 h(x) 的公因式．由于 ( f (x)， h(x)) = ，因此 w(x) 是零次多项式．这表明 f (x) 与 g(x)h(x) 除零次多项式外不含其它公因式，即 f (x) 与 g(x)h(x) 互素． ∎ 性质 1.3.5 设 f (x)， g(x) 与 h(x) 是多项式，其中 (g(x)， h(x)) = ，并且 h(x) ∣ f (x)g(x)，则 h(x) ∣ f (x)． 证明 因为 (g(x)， h(x)) = ，故存在多项式 u(x) 与 v(x)，使得 h(x)u(x) + g(x)v(x) = ． 上式两端同乘以 f (x)，得到 h(x)(u(x) f (x)) + (g(x) f (x))v(x) = f (x)． 由此可知，h(x) ∣ f (x)． ∎ 性质 1.3.6 设 f (x)， g(x) 与 h(x) 是多项式，f (x) ∣ h(x)，g(x) ∣ h(x)，且 ( f (x)， g(x)) = ， 则 f (x)g(x) ∣ h(x)．
14 第一章多项式州 例1.3.3求多项式u(x)和v(x),使得 xmu(x)+(1-x)"v(x)=1 (1.3.5) 解显然，多项式xm与(1-x)"互素.所以由定理1.3.3，适合式(1.3.5)的多项 式u(x)与v(x)是存在的. 如果degu(x)≥n,degv(x)≥m,则由定理1.3.1，存在多项式q(x),4(x),q2(x) 与n(x),deg(x)<n,deg4(x3m,使得 u(x)=0”9)+(,v(x42(x)+y(x) 代入式(1.3.5)得到 x(1x)9(x)+q2(x》）=1-x4(x)0-x)"(x). 比较两端多项式的次数得到 x"(x) (1-x)"(x)=1 因此可设degu(x)←,deg(x)<” v(x)-bx. 配然 -o四， 将（与v代人式(3.5.令x=0,则得到bv(0)=1.令x=1,则得到 )=对式135求k阶微商，得到 (m -c-P09:aa3 设k m-1,则m-k≥1，其中i=0,1,.,k.在式(1.36中令x=0,得到 yeD-c n! (n-k+i) (d0=04 由此知 C-1)C-bi 进而解得b,=Cn+j- 于是 v(x)= 0 同样，设1≤k≤n-1,则n-k+i≥1，其中i=0,1,k.在式(1.3.6)中令x=1 得到 由此知
⋅ 14 ⋅ 第一章 多 项 式 ¹ 例 1.3.3 求多项式 u(x) 和 v(x)，使得 x m u(x) + ( − x) n v(x) = ． (1.3.5) 解 显然，多项式 x m 与 ( − x) n 互素．所以由定理 1.3.3，适合式 (1.3.5) 的多项 式 u(x) 与 v(x) 是存在的． 如果 deg u(x) ⩾ n，deg v(x) ⩾ m，则由定理 1.3.1，存在多项式 q(x)， u(x)， q(x) 与 v(x)，deg u(x) < n，deg v(x) < m，使得 u(x) = ( − x) n q(x) + u(x)， v(x) = x m q(x) + v(x)． 代入式 (1.3.5) 得到 x m ( − x) n (q(x) + q(x)) = − x m u(x) − ( − x) n v(x)． 比较两端多项式的次数，得到 x m u(x) + ( − x) n v(x) = ． 因此可设 deg u(x) < n，deg v(x) < m． 设 u(x) = n− ∑ i= ai( − x) i ， v(x) = m− ∑ j= bjx j． 显然， ai = (−) i i! u (i) ()， bj = j! v ( j) ()． 将 u(x) 与 v(x) 代入式 (1.3.5)．令 x = ，则得到 b = v() = ．令 x = ，则得到 a = u() = ．对式 (1.3.5) 求 k 阶微商，得到 k ∑ i= C i k m! (m − k + i)! x m−k+i u (i) (x) + k ∑ i= (−) k−iC i k n! (n − k + i)! ( − x) n−k+i v (i) (x) = ．(1.3.6) 设 ⩽ k ⩽ m − ，则 m − k + i ⩾ ，其中 i = ，， . . . ， k．在式 (1.3.6) 中令 x = ，得到 k ∑ i= (−) k−iC i k n! (n − k + i)! v (i) () = ． 由此知 k ∑ i= (−) iC k−i n bi = ． 进而解得 bj = C j n+j−．于是， v(x) = m− ∑ i= C j n+j− x j． 同样，设 ⩽ k ⩽ n − ，则 n − k + i ⩾ ，其中 i = ，， . . . ， k．在式 (1.3.6) 中令 x = ， 得到 k ∑ i= C i k m! (m − k + i)! u (i) () = ． 由此知
W51.3整除性与最大公因式 ·15 2-1)c-a=0. 解得a;=Cm-·因此， ()-c.-) ■ 注对于给定多项式f(x)与g(x),求多预式u(x)与v(x),使得 f(x)uf)g(v()=d(x) 这里d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式其方法很多的 方法之一是，用辗转相除法、求出定理133的证明中的等式)，(2)，(k): 然后，如同定理1.3.3的证明把这里些等式逐个地由后往前代入，即可求出(x)与 v(x). 方法之二是，由于定理1.3.3保证了u(x)与y(x的存在性因此可以用待定系 数法.例1.3.3采用的就是待定系数法. 最大公因式的概念可以推广到有限多 个不全为零的多顶式的情形 定义1.3.3设不全为零的多项式(x),(),5(xJ(x)eF[x]: 如果对任意i=1,2,5,都有 h(x)fi(x): 则h称为5x.的公因式如果首多项式d的是f. (x),(x)的公因式，而f(x),(x),.,(x)的每个公因武都是()的因 式，则d(x)称为f(x),f(x),x)的最大公因式，记为 d(x)=(f().f(x).) 定理1.3.4 不全为零的多项式(x),5(x),（的最大公因 存在且唯 一，而且 d(x)()-5(x).f=(0(=() (1.3.7 证明先证明最大公因式的存在性与式(13.成心对多项式的个数s用归 纳法.当s=2时，显然最大公因式存在且式(1.3)成立. 假设当1时最大公因式存在且式（们3）成立，记k个不全为零的多 项式(x.G纱的最大公因式为定2，多项式()与 (x)的最大公因式存在记为x: 显然，d(x)是)与人)的公因武.由于（是(x)5(x).(x)的 公因式，因此，d(x)是(x:.(x)的公因式 另一方面，设h(x)是(x),f(x),.,f(x)的公因式，则h(x)是(x),(x), ,f-(x)的公因式，从而h(x)是d(x)的因式.即h(x)是(x)和f(x)的公因 式.因此，h(x)也是d(x)的因式. 这表明，d(x)是(x),(x),f(x)的最大公因式.即
´ §1.3 整除性与最大公因式 ⋅ 15 ⋅ k ∑ i= (−) iC k−i m ai = ． 解得 ai = C i m+i−．因此， u(x) = n− ∑ i= C i m+i− ( − x) i． ∎ 注 对于给定多项式 f (x) 与 g(x)，求多项式 u(x) 与 v(x)，使得 f (x)u(x) + g(x)v(x) = d(x)， 这里 d(x) 是 f (x) 与 g(x) 的最大公因式，其方法很多的． 方法之一是，用辗转相除法，求出定理 1.3.3 的证明中的等式 ()，()，. . . ，(k)； 然后，如同定理 1.3.3 的证明，把这里些等式逐个地由后往前代入，即可求出 u(x) 与 v(x)． 方法之二是，由于定理 1.3.3 保证了 u(x) 与 v(x) 的存在性，因此可以用待定系 数法．例 1.3.3 采用的就是待定系数法． 最大公因式的概念可以推广到有限多个不全为零的多项式的情形． 定义 1.3.3 设不全为零的多项式 f(x)， f(x)， . . . ， fs(x) ∈ F[x]，h(x) ∈ F[x]． 如果对任意 i = ， ， . . . ，s，都有 h(x) ∣ fi(x)， 则 h(x)称为 f(x)， f(x)， . . . ， fs(x)的公因式．如果首一多项式d(x) ∈F[x]是 f(x)， f(x)， . . . ， fs(x) 的公因式，而 f(x)， f(x)， . . . ， fs(x) 的每个公因式都是 d(x) 的因 式，则 d(x) 称为 f(x)， f(x)， . . . ， fs(x) 的最大公因式，记为 d(x) = ( f(x)， f(x)， . . . ， fs(x))． 定理 1.3.4 不全为零的多项式 f(x)， f(x)， . . . ， fs(x) 的最大公因式存在且唯 一，而且 d(x) = ( f(x)， f(x)， . . . ， fs(x)) = (( f(x)， f(x)， . . . ， fs−(x))， fs(x))． (1.3.7) 证明 先证明最大公因式的存在性与式 (1.3.7) 成立．对多项式的个数 s 用归 纳法．当 s = 时，显然最大公因式存在且式 (1.3.7) 成立． 假设当 s = k − 时最大公因式存在且式 (1.3.7) 成立．记 k − 个不全为零的多 项式 f(x)， f(x)， . . . ， fk−(x) 的最大公因式为 d̃(x)．由定理 1.3.2，多项式 d̃(x) 与 fk (x) 的最大公因式存在，记为 d(x)． 显然，d(x) 是 d̃(x) 与 fk (x) 的公因式．由于 d̃(x) 是 f(x)， f(x)， . . . ， fk−(x) 的 公因式，因此，d(x) 是 f(x)， f(x)， . . . ， fk (x) 的公因式． 另一方面，设 h(x) 是 f(x)， f(x)， . . . ， fk (x) 的公因式，则 h(x) 是 f(x)， f(x)， . . . ， fk−(x) 的公因式，从而 h(x) 是 d̃(x) 的因式．即 h(x) 是 d̃(x) 和 fk (x) 的公因 式．因此，h(x) 也是 d(x) 的因式． 这表明，d(x) 是 f(x)， f(x)， . . . ， fk (x) 的最大公因式．即
.16 第一章多项式州 d(x)=(d(x),f(x)） 这就证明了(x),f(x),f(x)的最大公因式存在而且式(1.3.7)成立. 至于唯一性的证明和s=2的情形是类似的.从略， 由式(1.3.7)与定理1.3.3直接得到， 推论13.4设d(x)是多项式(x,f5(x),f(x)∈F[x]的最大公因式，则 存在多项式4(x),(x)心(E,使得 0)4为5（在264+(，(x)=0. (1.3.8) 如果多项式(x),x)的公因式只能是零次多项式，则称f(x). f(x).,f(x)是互素的 容易看出，多项式在)(x),(x)互素的充分必要条件是它们的最大公 因式为1.注意，当2时，如果x).(x,(x)互素，这些多项式并不一定 两两互素 习题1.3 1设多项式g()3x-2x+2整除多项式f6)=+3x2+ax+b,求a和b.这里a,beR 2设m,”和p为证整数证明，多项式g(x)=x +1整除多项式f(x)=x+x1+x*2 3.证期，当6加+5时多项式2+xy+了整除多项式(x+》”-心：当=6m+1 实数项素终除多孩试-这里m足使>0的整数，而与y是一一 4.求多项武f(与(x)的成大公因式. g(x)=x2+x2-x-1 +8x-5. g(x)=x3+x2-x+15 ⊙99x4-2-3x g(x)=3x3+8xd49+15x2+10+9. 5.定多项式a与使得fx(x+gw()=d(x).其中4x)是y与g(x)的 最大公因武 g(x)=x 41 (2)fx93x5636 5x-6, g(x)/=3x上4 2 (3)f(x)3x2 8(x/r2 ④fx)=x44+ g(x）=x2, 6.用待定系数法确定多武（ 与，使得fc(g 1,其中fx)与g(x) 如下： ()f(x)-x3,g(x)-a- (2)fx 8)-x) (3)fx)=x-4x2+1,g(x)=x2-3x2+1 7.求次数最低的多项式u(x)与v(x),使得 ()(x-2x3-4x2+6x+1)u(x)+(x23-5x-3)v(x)=x (2)(x+2x3+x+1)u(x)+(x+x3-2x2+2x-10m(x)=x3-2x. 8.求次数最低的多项式f(x),使得f(x)被多项式(x-1)除时余式为2x,被多项式(x-2尸 除时余式为3x
⋅ 16 ⋅ 第一章 多 项 式 ¹ d(x) = (d̃(x)， fk (x))． 这就证明了 f(x)， f(x)， . . . ， fk (x) 的最大公因式存在而且式 (1.3.7) 成立． 至于唯一性的证明和 s = 的情形是类似的．从略． ∎ 由式 (1.3.7) 与定理 1.3.3 直接得到， 推论 1.3.4 设 d(x) 是多项式 f(x)， f(x)， . . . ， fs(x) ∈ F[x] 的最大公因式，则 存在多项式 u(x)， u(x)， . . . ， us(x) ∈ F[x]，使得 f(x)u(x) + f(x)u(x) + ⋯ + fs(x)us(x) = ． (1.3.8) 如果多项式 f(x)， f(x)， . . . ， fs(x) 的公因式只能是零次多项式，则称 f(x)， f(x)， . . . ， fs(x) 是互素的． 容易看出，多项式 f(x)， f(x)， . . . ， fs(x) 互素的充分必要条件是它们的最大公 因式为 ．注意，当 s > 时，如果 f(x)， f(x)， . . . ， fs(x) 互素，这些多项式并不一定 两两互素． 习 题 1.3 1. 设多项式 g(x) = x −ax + 整除多项式 f (x) = x +x + ax +b，求 a 和 b．这里 a， b ∈ R． 2. 设 m， n 和 p 为正整数．证明，多项式 g(x) = x +x+ 整除多项式 f (x) = x m +x n++x p+． 3. 证明，当 n = m + 时，多项式 x + x y + y 整除多项式 (x + y) n − x n − y n；当 n = m + 时，多项式 (x + x y + y ) 整除多项式 (x + y) n − x n − y n．这里 m 是使 n > 的整数，而 x 与 y 是 实数． 4. 求多项式 f (x) 与 g(x) 的最大公因式． (1) f (x) = x + x − x − x − ， g(x) = x + x − x − ； (2) f (x) = x + x − x − x + x − ， g(x) = x + x − x + ； (3) f (x) = x − x − x − x − x − x − ， g(x) = x + x + x + x + x + ． 5. 确定多项式 u(x) 与 v(x)，使得 f (x)u(x)+ g(x)v(x) = d(x)，其中 d(x) 是 f (x) 与 g(x) 的 最大公因式． (1) f (x) = x + x − x − x − ， g(x) = x + x − x − x − ； (2) f (x) = x + x − x − x − x − ， g(x) = x − x − x − x − ； (3) f (x) = x − x + x + ， g(x) = x − x + ； (4) f (x) = x − x − x + x + ， g(x) = x − x − ． 6. 用待定系数法确定多项式 u(x) 与 v(x)，使得 f (x)u(x) + g(x)v(x) = ，其中 f (x) 与 g(x) 如下： (1) f (x) = x ，g(x) = ( − x) ； (2) f (x) = x ，g(x) = ( − x) ； (3) f (x) = x − x + ，g(x) = x − x + ． 7. 求次数最低的多项式 u(x) 与 v(x)，使得 (1) (x − x − x + x + )u(x) + (x − x − )v(x) = x ； (2) (x + x + x + )u(x) + (x + x − x + x − )v(x) = x − x． 8. 求次数最低的多项式 f (x)，使得 f (x) 被多项式 (x −) 除时余式为 x，被多项式 (x −) 除时余式为 x．
451.4唯一析因定理 ·17 9.求次数最低的多项式f(x),使得f(x)被多项式x-2x-2x2+10x-7除时余式为x2+x+1, 被多项式x-2x2-3x2+13x-10除时余式为2x2-3. 10.设f(x)是2n+1次多项式，n为正整数，f(x)+1被(x-1)"整除，而f(x)-1被(x+1) 整除.求f(x) 51.4*唯析因定理， 大家知道，在整数环Z中素数起着重要的作用：所谓素数是指，除±1和自身 外不含其它因子的整数.整数环Z中每个非零整数都可以分解为若干个素数的乘 积，而且不计素因子的正负号和顺序，这种分解是唯一的. 对数该至上的一元多项式环F也有类似的结了分绍多式环的唯 析因定理，先引述以下的定义。 定义1.4.1设f(x)是数域F上的n次多项式，”≥1如果存在次数小年n的 多项式g(x),h(x)eF[x],使得f(x)=g(x)h(x),则多项式f)称为在F上可约 如果多项式f(x)不是在F上可约，则f(x)称为在上不可约 应当注意，一个多项式在数域F上不可约，在包含数域区的数域上这个多 项式有可能是可约的.例如，多项式x2+1在实数域R七不可约，但是由 x2+1=(x-i)(x*i), 这里P=-山.因此多项式x2+1在复数域上是可约的：所以多项武的不可约性是 相对给定的数域而言的. 关于不可约多项式，有以下简单性质. 性质14设多项式p(x)在上不可约，且a是决非零的数，测多项式 ap(x)在E上不可约. 性质142设多项式)e[x,且p(x)是F的不可约多项式则p(x)川 f(x),或者px)与f)互素. 证明设f的与P(不互素，则它们的最大公因式)红，即d(x)是p(x) 的因式.因为p(在F上不可约，所以p(c)4aa(x,aF而d(x)是f(x)的因 式，故p(x)也是)的因式，即(x)川f(x) 性质1.43设多项式x)geF[xp(是数域F上的不可约多项式 如果p(x)f(x)g(x),则p(x)f(x),或者p(x)川g(x) 证明如果p(x)十f(x),则(p(x),f(x)=1.因此，存在多项式u(x),v(x) F[x],使得 p(x)u(x)+f(x)v(x)=1. 因此
´ §1.4 唯一析因定理 ⋅ 17 ⋅ 9. 求次数最低的多项式 f (x)，使得 f (x)被多项式 x −x −x +x−除时余式为 x +x+， 被多项式 x − x − x + x − 除时余式为 x − ． 10. 设 f (x) 是 n + 次多项式，n 为正整数，f (x) + 被 (x − ) n 整除，而 f (x) − 被 (x + ) n 整除．求 f (x)． §1.4 唯一析因定理 大家知道，在整数环 Z 中素数起着重要的作用．所谓素数是指，除 ± 和自身 外不含其它因子的整数．整数环 Z 中每个非零整数都可以分解为若干个素数的乘 积，而且不计素因子的正负号和顺序，这种分解是唯一的． 对数域 F 上的一元多项式环 F[x]，也有类似的结论．为了介绍多项式环的唯 一析因定理，先引述以下的定义． 定义 1.4.1 设 f (x) 是数域 F 上的 n 次多项式，n ⩾ ．如果存在次数小于 n 的 多项式 g(x)， h(x) ∈ F[x]，使得 f (x) = g(x)h(x)，则多项式 f (x) 称为在 F 上可约． 如果多项式 f (x) 不是在 F 上可约，则 f (x) 称为在 F 上不可约． 应当注意，一个多项式在数域 F 上不可约，在包含数域 F 的数域 K 上这个多 项式有可能是可约的．例如，多项式 x + 在实数域 R 上不可约，但是，由于 x + = (x − i)(x + i)， 这里 i = −．因此多项式 x + 在复数域上是可约的．所以，多项式的不可约性是 相对给定的数域而言的． 关于不可约多项式，有以下简单性质． 性质 1.4.1 设多项式 p(x) 在 F 上不可约，且 a 是 F 中非零的数，则多项式 ap(x) 在 F 上不可约． 性质 1.4.2 设多项式 f (x) ∈ F[x]，且 p(x) 是 F 上的不可约多项式，则 p(x) ∣ f (x)，或者 p(x) 与 f (x) 互素． 证明 设 f (x) 与 p(x) 不互素，则它们的最大公因式 d(x) ≠ ，即 d(x) 是 p(x) 的因式．因为 p(x) 在 F 上不可约，所以 p(x) = ad(x)，a ∈ F．而 d(x) 是 f (x) 的因 式，故 p(x) 也是 f (x) 的因式，即 p(x) ∣ f (x)． ∎ 性质 1.4.3 设多项式 f (x)， g(x) ∈ F[x]，p(x) 是数域 F 上的不可约多项式． 如果 p(x) ∣ f (x)g(x)，则 p(x) ∣ f (x)，或者 p(x) ∣ g(x)． 证明 如果 p(x) ∤ f (x)，则 (p(x)， f (x)) = ．因此，存在多项式 u(x)， v(x) ∈ F[x]，使得 p(x)u(x) + f (x)v(x) = ． 因此