「例7求函数 5 = 4x+2cos x-Inx+sin 2 的导数 「解 (x'-4x+2 cos x-Inx+sin 2) =(x)=4(x)+2(cos x) -(n x)+(sin 2) =5x=12x=sinx 2021/2/20 6
2021/2/20 6 的导数 例 求函数 4 2cos ln sin 2 [ 7] 5 3 y = x − x + x − x + x x x x 1 5 12 2sin 4 2 = − − − [解 ]( ) 4( ) 2(cos ) (ln ) (sin2) 5 3 = x − x + x − x + ( 4 2cos ln sin2) 5 3 y = x − x + x − x +
「例]求函数f(x)=tanx的导数 SIn 解!( (tan x)'=( cos (sin x).cos x-sin x(cos x) 2 cos x cos x coS x-sin x(sin x) cos x 〔tanx)y=secx = 2-secx。 cos x 2021/2/20 cos x
2021/2/20 7 ) cos sin (tan ) = ( x x x x x x x x 2 cos (sin ) cos − sin (cos ) = sec . cos 1 cos cos cos sin ( sin ) 2 2 2 x x x x x x x = = − − = [例8] 求函数 f (x) = tan x的导数 [解] x x x 2 2 cos 1 (tan ) sec = =
2、复合函数导数公式 (1)复合函数微分法(链式法则) 设函数y=f(u)在点u可导函数u=g(x) 在点x可导,则复合函数y=fg(x在点x 也可导,且 dfig(x)l =f'[g(x)·g(x) d 或 _ X 2021/220 8
2021/2/20 8 2、复合函数导数公式 （1）复合函数微分法（链式法则） 也可导 且 在 点 可 导 则复合函数 在 点 设函数 在 点 可 导 函 数 , , [ ( )] ( ) , ( ) x y f g x x y f u u u g x = = = dx du du dy dx dy 或 = [ ( )] ( ) [ ( )] f g x g x dx df g x =
4∠ 证】m=如M 4 m A→0Ln八ax>0∠x =f'(g(x)g'(x) du dx 上面的证法有没有问题? 当Ax→0时,Ax≠0 不能保证中间变量的增量 A=g(x+Ax)-g(x)总不等于零 2021/2/20
2021/2/20 9 [证] x y x 0 lim → = = → → → x u u y x u u y x u x 0 0 0 lim lim lim dx du du dy = = f (g(x))g(x) 当x →0时,x 0 不能保证中间变量的增量 u = g(x + x) − g(x) 总不等于零 上面的证法有没有问题？
证]y=f(u)可导→im3=f(a) → =f(u+a (im a=0) ∠n→>0 当M≠时,上式化为 4=f(an)·+a.A(1) 当=0时,y=f(u+n)-f(u)=0 (1)式仍然成立 小y u = ac 2021/220 X ∠x ∠x
2021/2/20 10 [证] y = f (u)可导 = f (u) + u y (lim 0) 0 = → u lim ( ) 0 f u u y u = → 当u 0时,上式化为 y = f (u)u + u (1) 当u = 0时, y = f (u+ u)− f (u) = 0 (1) 式仍然成立！ x u x u f u x y = ( ) +