a.a.a4. D=0.ag.0 a.aw.an 为了利用前面的结果，把D的行列作如下调换：把D的第i行依次与第 i-1行、第i-2行、.、第1行对调，这样数av就调成(1，j)元，调换的次数为 i-1.再把第j列依次与第j-1列、第j-2列、.、第1列对调，这样数a,就调 成(1,1)元，调换的次数为j-1.总之，经i+j-2次调换，把数a,调成(1,1)元， 所得的行列式D,=(-1)+2D=(-1)D,而D,中(1,1)元的余子式就是 D中(i,j)元的余子式M 由于D,的(1,1)元为a,第1行其余元素都为0，利用前面的结果，有 D=aM, 于是 D=(-1)D1=（-1)'agMg=agA. 定理3行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积 之和，即 D=anAn+a2A2+.+anAn（i=1,2,.,n）, 或 D=a1A,+a2A2+.+aAw（j=1,2,.,n） 女 41 412 41w D=a+0+.+00+a2+.+0.0+.+0+an a2a1. an an 0 .0 0 42 0 a +.+0 0 a a.2 .a ·17·
根据引理，即得 D=a1An+a2A2+.+anAm(i=1,2,.,n） 类似地，若按列证明，可得 D=a1yAy+a2A2y+.+awAw（j=1,2,.,n） 证毕 这个定理叫做行列式按行（列）展开法则.利用这一法则并结合行列式的性 质，可以简化行列式的计算. .下面用此法则来计算例7的 31-12 -513-4 D= 201-1 1-53-3 保留a9,把第3行其余元素变为0，然后按第3行展开， 5·1-11 D92, -1113-1 ca+cs 0 010 -5-5 3 0 15 11 1511 =(-1)3*3-11 1-1 r2+r1 -620 -5 -5 0 -5-50 =(-10-6 2-c2-82 -5-5 0-5 =40. 例12证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 11 1 .1 . D。= 4 x （x 巴 i- x.x 其中记号“Ⅱ”表示全体同类因子的乘积。 证，用数学归纳法.因为 11 D2= 小 所以当n=2时(8)式成立.现在假设(8)式对于n-1阶范德蒙德行列式成立， 要证(8)式对n阶范德蒙德行列式也成立. 为此，设法把D。降阶：从第n行开始，后行减去前行的x,倍，有 ·18·
1 1 1 1 0 x2-x1 x)-x1 I.-I1 D.=0x2(x2-x1) x3(x3-x1）.xn（xn-x1) 0x22(x2-x1)xg2(x3-x1).x2(xw-r1) 按第1列展开，并把每列的公因子(x,-x,)提出，就有 11 1.1 . T. D=(x2-x1）(x-x1)(x,-x1) x2x2.x2 上式右端的行列式是”一1阶范德蒙德行列式，按归纳法假设，它等于所有 (x,-x,)因子的乘积，其中n≥i>j≥2.故 D,=(x2-x)（x3-x)(x-x1）T（,-) =Π(x,-x,）. 证毕 例11和例12都是计算n阶行列式.计算n阶行列式，常要使用数学归纳 法，不过在比较简单的情形（如例11），可省略归纳法的叙述格式，但归纳法的主 要步骤是不可能省略的.这主要步骤是：导出递推公式（例11中导出D2.= (ad-bc)D.-v)及检验n=1时结论成立（例11中最后用到D2=ad-bc). 由定理3，还可得下述重要推论. 推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘 积之和等于霉.即 anA1+a2A2+.+amAm=0,i≠j, 或 a1Ay+a2,A2z,+.+aAw=0,i≠j. 证把行列式D=det(a)按第j行展开，有 ana1w al. aA+a2A2+.+anAn= an . .a 在上式中把a.换成a(k=l,.,n),可得 ·19
an aa +第i行 anAl+a2A,2+.+anAn= an +第j行 al. 当≠j时，上式右端行列式中有两行对应元素相同，故行列式等于零，即得 a1Ay,+a2A2+.+anAm=0(i≠j). 上述证法如按列进行，即可得 a1A,+a2A2,+.+amA则=0(i≠j). 证毕 综合定理3及其推论，有关于代数余子式的重要性质： 名A=-8:当 ∫D,当i=j, 或 会A=D ∫D,当i=j: (0,当≠j: 1,当i=j, 其中 8,=0,当≠j 仿照上述推论证明中所用的方法，在行列式det(a:)按第i行展开的展开式 det(a）=anAl+a2Aa+.+amA. 中，用b1,b2,.,bn依次代替a1,a2,.,am,可得 an a-1. .a-1 b .b =b1A,+b2A2+.+bnAn (9) 4*11 4j+l.n a 其实，把(9)式左端行列式按第i行展开，注意到它的(i,j)元的代数余子式 等于det(ag)中(i,j)元的代数余子式A,（=1,2,.,n),也可知(9)式成立. 类似地，用b1,.,b代替det(a)中的第j列，可得 ·20·
::::=b1Ay+b2A24+.+b,Aw a1.aj-16。ai1.a (10) 例13设 3-5:,2 110-5 D= -131 3 2-4-1-3 D的(i,j)元的余子式和代数余子式依次记作M和A,求 A+A+A+A Mu+Ma+M+M 解按(9)式可知A1+A2+AB+A4等于用1,1,1,1代替D的第1行 所得的行列式，即 |1111 1111 1 1 0 -5r4+n 1 10-5 Au+A2+Ap+A= -1 3 1 3- -2 202 2-4-1 -3 1 -100 111-5 112-5 =-22 2 ca+ci -202 1-1 0 100 =/2-5列 02 =4. 按(10)式可知 Mu+Ma M3 +Ma =Au Aa+A -A 1-52 1 1-52 1 -1 1 0-5ra+ -1 10-5 1 3 1 3/ 1 31 3 -1 -4-1-3 0-10 0 12 1 -10 -5 =(-1)-10-5 r1-2r -10 -5=0. 113 11 3 §7克拉默法则 含有n个未知数x1,x2,.,x,的个线性方程的方程组 ·21·