《线性代数》课程PPT教学课件（B）第五章 相似矩阵与二次型_5-2特征值与特征向量

3-2 (A-2E)x= 网 -13 →基础解系：p=(1,1)', ∴.P1=(1,1)'为属于特征值2的一个特征向量， 其全部特征向量为p1(k≠0)； 同理可求属于22=4的一个特征向量为P2=(-1,1)', 其全部特征向量为知2(k≠0)

2 2 同理可求属于 = = − 4 ( 1 1) , 的一个特征向量为 p ，  ( 0). 其全部特征向量为kp2 k  0 ; 其全部特征向量为kp1 （k  ） 1  = 基础解系: (1 1) p ，  ， 1  = p (1, 1) 2 , 为属于特征值 的一个特征向量 1 2 1 1 1 1 x x   −   =      −   1 2 1 1 0 0 0 x x   −     =      即 1 2 3 2 1 ( 2 ) 1 3 2 x A E x x   − −   − =      − −  

-1 1 0 例2求矩阵A= -4 30的特征值和特征向量 1 02 解 A的特征多项式为 -1-九 1 0 A-AE= -4 3-元 0 =(2-2)1-)2, 1 02-2 所以A的特征值为九1=2,22=23=1

1 1 0 2 . 4 3 0 1 0 2 A   −   = −       例 求矩阵 的特征值和特征向量 解 2 1 1 0 4 3 0 (2 )(1 ) , 1 0 2 A A E       − − − = − − = − − − 的特征多项式为 2, 1. 所以A的特征值为1 = 2 = 3 =

当1=2时，解方程(A-2E)x=0.由 -31 0 100 A-2E= -410 >01 0 100 000 0 得基础解系 p1= 0 所以仰，(k≠0)是对应于2=2的全部特征值

3 1 0 1 0 0 2 4 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 A E ,     −     − = → −             1 0 , 0 1 p     =       得基础解系 1 1 所以kp k( 0) 2 .  = 是对应于 的全部特征值 当1 = 2时,解方程(A − 2E)x = 0.由

当2=λ3=1时，解方程(A-E)x=0.由 -2 1 F10 1 A-E= -4 2 0 01 2 1 01 0 0 0 -1 得基础解系 P2= -2 1 所以仰，(k≠0)是对应于22=2=1的全部特征值

2 1 2 , 1 p   −   = −       得基础解系 2 2 3 所以kp k( 0) 1 .  = = 是对应于  的全部特征值 当2 = 3 = 1时,解方程(A − E)x = 0.由 2 1 0 1 0 1 4 2 0 0 1 2 , 1 0 1 0 0 0 A E     −     − = → −            