线性代数 第五章当|α=1时,称α为单位向量,1如果α±0,有长度的概念得α就是一个单位向量α用非零数去乘以向量α得到一个与α同方向的α单位向量，通常称为把向量α单位化
线性代数 第五章 当 = 1 , . 时 称 为单位向量 1 0, . 如果 有长度的概念得 就是一个单位向量 1 . 用非零数 去乘以向量 得到一个与 同方向的 单位向量，通常称为把向量 单位化
线性代数 第五章三、正交向量组的概念及求法1.正交的概念当[x,=0时,称向量x与正交由定义知若x=0,则x与任何向量都正交2.正交向量组的概念若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组
线性代数 第五章 1.正交的概念 2.正交向量组的概念 当[x, y] = 0时,称向量x与y 正交 . 由定义知,若 x = 0,则 x与任何向量都正交. 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组． 三、正交向量组的概念及求法
线性代数 第五章3.标准正交向量组：若正交向量组中每个向量都是单位向量，则称该向量组为标准正交向量组向量组ej,e2,…,e,是标准正向量组0, i± j且i,j=1,2,..,n.←[e;,e;]=1, i=j且i,j=1,2,..,n
线性代数 第五章 若正交向量组中每个向量都是单位向量,则称 该向量组为标准正交向量组. 1 2 , , , 0, , 1,2, , . [ , ] 1, , 1,2, , . n i j e e e i j i j n e e i j i j n = = = = 向量组 是标准正向量组 且 且 3.标准正交向量组:
线性代数 第五章定理5.1.1正交向量组是线性无关向量组证明：设有αi,α2,…,αm是正交向量组，若有k,α, +k,α, +...+kmαm=0用a,与等式两边做内积,得k,[α,α,]=0i=1,2,...,m由α, 0,有[α;,α;]>0,从而得k, =0 i=1,2,...,m.故α,αz,.…,αm线性无关
线性代数 第五章 定理5.1.1 正交向量组是线性无关向量组. 证明： 1 1 2 2 0 m m k k k + + + = , i 用a 与等式两边做内积 得 1 2 , , , 设有 m 是正交向量组，若有 0, [ , ] 0, 由 i i i 有 从而得 0 1,2, , . i k i m = = 1 2 , , , . 故 m 线性无关 [ , ] 0 1,2, , i i i k i m = =
线性代数 第五章设αj,α,,α,是r维向量空间V的一个基,若α,α，…,α,两两正交，则称α,α,α,是向量空间V的一个正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基(或正交规范基）
线性代数 第五章 1 2 , , , r V 则称 是向 量空间 的一个正交基， 1 2 , , , r 设 是r V 维向量空间 的一个基， 1 2 , , , 若 r 两两正交， ( ). 由单位向量组成的 标准正交基 或正交 正 称为 规范基 交基