设OA=a,则得定解问题： [x"=av1+y2 悬链线 y=0=a,yx=0=0 令y=p(x),则y” dp. 方程化为 48S d dp dx 1+p2 a Arsh p=ln(p+V1+p2)） 两端积分得Arsh p=。+C,由yx=0=0得C=0, 则有 y'=sh a 两端积分得y=ach。+C2,由yx=0=a,得C2=0 故所求绳索的形状为y=a h=8(e+e8) a BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 1 2 y 1 y a 设 OA a, 则得定解问题: 令 y p(x), , d d x p 则 y 原方程化为 两端积分得 Arsh ln ( 1 ) 2 p p p Arsh , C1 p a x 0, 得C1 则有 两端积分得 0 得C2 故所求绳索的形状为 a x y a ch (e e ) 2 a x a x a 悬链线 a M gs T H A y O x
3y”=f(y,y型的微分方程 令y=py),则y=?=d2.d业y ap dx dy dx 故方程化为 8心 设其通解为p=p(y,C1),即得 y'=0y,C) 分离变量后积分，得原方程的通解 dy =x+C2 p(y,G) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 、返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 3. ( , ) y f y y 型的微分方程 令 y p ( y), x p y d d 则 x y y p d d d d 故方程化为 设其通解为 ( , ), C1 p y 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解
例11.3.4求微分方程yy”-y2=0的通解 解：设y=p,则y”= dpdy p p dx dy dx y 代入方程得yPdy -p2=0,即y dy y 两端积分得lnlp=lny+C,即p=Cy, y'=C1y（(一阶线性齐次方程) 故所求通解为y=C,e9x(C,=±e) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 例11.3.4 求微分方程 代入方程得 两端积分得 ln ln , p y C , 1 即 p C y (一阶线性齐次方程) 故所求通解为 解:设 x p y d d 则 x y y p d d d d y p p d d
二、二阶线性微分方程解的结构 1.二阶线性微分方程的一般概念 形如 y”+P(x)y+Qxy=孔x) 的微分方程称为二阶线性微分方程，其中P(x),Q(x), x)都是x的已知函数. 如果孔x)=0,方程变为 y”+P(x)y'+Qxy=0 称为原方程对应的二阶齐次线性微分方程：而原方 程称为二阶非齐次线性方程. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、二阶线性微分方程解的结构 1.二阶线性微分方程的一般概念 的微分方程称为二阶线性微分方程，其中P(x)，Q(x)， f(x)都是x的已知函数． 形如 y″＋P(x)y′＋Q(x)y＝f(x) 如果f(x)≡0，方程变为 y″＋P(x)y′＋Q(x)y＝0. 称为原方程对应的二阶齐次线性微分方程；而原方 程称为二阶非齐次线性方程．
2.二阶线性微分方程的解的结构 定理1若函数(x),y2(x)是二阶线性齐次方程 y”+P(x)y'+Q(x)y=0 的两个解，则y=C1(x)+C2y2(x)(C1,C2为任意常数) 也是该方程的解.（解的叠加性 证：将y=C1y(x)+C22(x)代入方程左边，得 [C]y+C22]+P(x)[C+C2y2] +Q(x)[C1M1+C2y2] =C[+P(x)+Q(x)y] +C2[y3+P(x)y2+Q(x)y2]=0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 ( )[ ] P x C1 y1 ( )[ ] Q x C1 y1 0 ( ), ( ) 1 2 若函数 y x y x 是二阶线性齐次方程 y P(x)y Q(x) y 0 的两个解, 也是该方程的解. 证: ( ) ( ) 1 1 2 2 将 y C y x C y x 代入方程左边, 得 [ ] C1 y1 2 2 C y 2 2 C y 2 2 C y [ ( ) ( ) ] 1 1 1 1 C y P x y Q x y [ ( ) ( ) ] 2 2 2 2 C y P x y Q x y (解的叠加性) ( ) ( ) 1 1 2 2 则 y C y x C y x 定理1 2.二阶线性微分方程的解的结构