第3节 第九章 老林公式及其应用 格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数全微分的求积问题 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 第3节 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 格林公式及其应用 第九章 三、二元函数全微分的求积问题
一、格林公式 1.两个概念 1)平面单连通区域 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围部分都属于 D,则称D为平面单连通区域；否则称为复连通区 域.通俗地说，平面单连通区域就是不含有“洞”（包 括“点洞”)的区域，复连通区域就是含有“洞”的☒ 域 2)区域边界的正向 我们规定L的正向如下：当观察者沿L的这个方向行走 时，D总在它的左边 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 1.两个概念 1)平面单连通区域 L l 一、 格林公式 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围部分都属于 D，则称D为平面单连通区域；否则称为复连通区 域．通俗地说，平面单连通区域就是不含有“洞”(包 括“点洞”)的区域，复连通区域就是含有“洞”的区 域． 2)区域边界的正向 我们规定L的正向如下：当观察者沿L的这个方向行走 时，D总在它的左边．
2.格林公式 定理1设区域D是由分段光滑正向曲线L围成，函数 P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有 川-v-手Pu+e*, 其中L是D的取正向的边界曲线 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 2.格林公式 定理1 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 则有 D L x y P x Q y y P x Q d d d d ( 格林公式 ) 函数 在 D 上具有一阶连续偏导数, 其中L是D的取正向的边界曲线．
证明：1)若D既是X-型区域，又是Y-型区域，且 D92e网 E a≤x≤b pm1g69 则 器d-a dx =∫w2ydy-(w1yy)dy =∫(xdy-∫c0xyay =∫s(x,dy+EcQx,yay BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 a x b x y x D ( ) ( ) : 1 2 则 x y x Q D d d d c Q( ( y), y )dy 2 ( ) ( ) 2 1 d y y x x Q CBE Q(x, y)dy EAC Q(x, y)dy d c Q( ( y), y )dy 1 d c dy O d c y x E C A B a b D
即 d-d ① 同理可证 -nga-.t ①、②两式相加得： ,2lad=fw+gwy BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 即 同理可证 ① ② ①、②两式相加得: D L x y P x Q y y P x Q d d d d