2 例3求椭圆x,+,=1的面积. b x=acos t 解椭圆的参数方程 y=bint 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积 a=4ydx =4 bsin td(acos t 4mb2sin2tlt=πmb 上一页下一页返回
例 3 求椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x 的面积. 解 椭圆的参数方程 = = y b t x a t sin cos 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． = a A ydx 0 4 = 0 2 4 bsin td(acost) ab tdt = 2 0 2 4 sin = ab
2.极坐标系情形 设由曲线r=g(0)及射线 6+d6 =a、O=B围成一曲边扇6=BA= 形,求其面积.这里,() d 在[a,B上连续,且q(⊙)≥0 面积元素dA=1mO)H21D2 0=a6 B1 曲边扇形的面积A= (O)l. 上一页下一页返回
设由曲线r = ( )及射线 = 、 = 围成一曲边扇 形，求其面积．这里，( ) 在[, ]上连续，且( ) 0． o x = d = + d 面积元素 dA d 2 [ ( )] 2 1 = 曲边扇形的面积 [ ( )] . 2 1 2 A d = r = ( ) 2. 极坐标系情形
例4求阿基米德螺线r=n(a>0)上相 应于6从0到2π的弧与极轴所围成的图形的 面积 解:6∈|0,2兀 d4=(a262)d0 于是 2兀 1,6 a 0d6= 2 2兀 兀 23 3 上一页下一页返回
例 4 求阿基米德螺线r = a (a 0) 上 相 应 于 从0 到2的弧与极轴所围成的图形的 面积. dA (a )d d 2 1 2 2 = 解 [0,2 ] = 2 0 2 2 2 1 A a d 于是 2 2 3 0 2 3 4 ] 3 [ 2 1 = a = a
例5求心形线r=m(1+cos0所围平面图 形的面积(a>0) 解dA (1+cos6)2d6 de 利用对称性知 a2["(1+c0s)d0 (1+2cos6+c0s26)d6 3 兀3 0+2sin6+-sin 20 T 上一页下一页返回
例 5 求心形线r = a(1+ cos )所围平面图 形的面积(a 0). 解 d dA a d 2 2 (1 cos ) 2 1 = + 利用对称性知 . 2 3 2 = a d 2 (1+ cos ) = 0 2 2 1 A 2 a (1 2cos cos )d 2 + + = 0 2 a = + + sin 2 4 1 2sin 2 2 3 a 0
例6求双纽线p2=a2cos20所围平面图 形的面积 解由对称性知总面积=4倍第 象限部分面积 A=441 44/1 a2 cos 20d0=a p =a cos 20 上一页下一页返回
例 6 求双纽线 cos 2 2 2 = a 所围平面图 形的面积. 解 由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积 A = 4A1 A a cos 2 d 2 1 4 4 0 2 = . 2 = a y = x cos 2 2 2 = a A1