⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理:yf(x)在x可微的充分必要条件是fx)在x处 可导,且当(x)在点x可微时,其微分一定是 证明(1)必要性∵f(x)在点x1可微 ∴=A·△x+0(△x), 4N√O(△x △ 则im Ay=A+im 0(△x) Δx→0△x △ 即函数f(x)在点x可导,且A=f(x)
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理：y=f(x)在 可微的充分必要条件是f(x)在 处 可导，且当f(x)在点 可微时，其微分一定是 0 x 0 x 0 x dy = f (x0 )x (1) 必要性 ( ) , f x 在点x0可微 y = A x + o(x), , ( ) x o x A x y = + x o x A x y x x = + → → ( ) lim lim 0 0 则 = A. ( ) , ( ). 0 0 即函数 f x 在点 x 可导 且A = f x 证明
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics (2)充分性∵函数f(x)在点x1可导 △ im=f(x0),即 △ f∫'(x0)+α, △x→0△v 从而△y=f(x0)·△x+a·(△x),:α→>0(△x→>0), ∫(x0)·Δx+0(△x), 函数f(x)在点x可微,且∫(xn)=A 可导可微.A=f(x)
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics ( ) ( ), 从而 y = f x0 x + x ( ) , = 0 + f x x y 即 ( ) , 函数f x 在点x0可导 lim ( ), 0 0 f x x y x = → → 0 (x → 0), ( ) ( ), = f x0 x + o x ( ) , ( ) . 函数 f x 在点 x0可微 且 f x0 = A . ( ). 0 可导 可微 A = f x (2) 充分性
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1求函数=x2在x=1和x=3处的微分 解函数y=x2在x=1处的微分 d=(x2yx=△x=2△x; 在x=3处的微分 d=(xyx3△x=6△ 函数y=f(x)在任意点x的微分,称为函数的 微分,记作小或f(x),即小=∫(x)x 例2求函数y=x3当x=2,Ax=00时的微分 解 小y=(xy△x=3x2△x. 3x2△ 0.24. x=2 △r=0.02 △r=0.02
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1 求函数y = x 2 在x = 1和x = 3处的微分 解 函数y = x 2 在x = 1处的微分 ( ) 2 ; 1 2 dy = x x= x = x 在x = 3处的微分 dy = (x ) x=3 x = 6x 2 , ( ), ( ) . ( ) , dy df x dy f x x y f x x = = 微 分 记 作 或 即 函 数 在任意点 的微分 称为函数的 例2 2, 0.02 . 求函数 y = x 3 当x = x = 时的微分 解 dy = (x )x 3 3 . 2 = x x 0.02 2 2 0.02 2 3 = = = = = x x x dy x x x = 0.24
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 通常把自变量的增量Δ称为自变量的微分 记作x,即=Ax b=r(x.=中=r(x) dx 即函数的微分与自变量的微分之商等于 该函数的导数导数也呻微商" 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics dy = f (x)dx. f (x). dx dy = 该函数的导数. 导数也叫"微 商". 即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于 , . , dx dx x x x = 记 作 即 通常把自变量 的增量 称为自变量的微分 返回