⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第七节方向导数与梯度 方向导数 、梯度 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第七节 方向导数与梯度 一、方向导数 二、梯度
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 方向导数的定义 讨论函数z=f(x,y)在一点P沿某一方向的变化率问题 设函数z=f(x,y)在点 P(x,y)的某一邻域U(P) y 内有定义,自点P引射线l 设x轴正向到射线L的转角 为卯,并设P(x+△x,y+△y) q△x X 为l上的另一点且P'∈U(p).0 (如图) tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 讨论函数 z = f (x, y) 在一点P沿某一方向的变化率问题． 一、方向导数的定义 o y x l • P x y • P • （如图） 内有定义，自点 引射线 的某一邻域 设函数 在点 P l P x y U (P ) z f x y ( , ) = ( , ) ( ). , ( , ) l P U p P x x y y x l + + 为 上的另一点且 为 并设 设 轴正向到射线 的转角
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o PP=p=(△x)2+(4y)2, 且Δ=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) △ 考虑 当P′沿着L趋于P时, lnf(x+△x,y+△y)-f(x,y)是否存在? tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics | PP |= ( ) ( ) , 2 2 = x + y 且 z = f (x + x, y + y) − f (x, y), 当 P 沿着 l 趋于 P 时， ( , ) ( , ) lim 0 f x + x y + y − f x y → 是否存在？ , z 考虑
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 定义函数的增量f(x+△x,y+4y)-f(x,y)与PP 两点间的距离P=(△x)2+(△y)2之比值,当 P沿着l趋于P时,如果此比的极限存在,则 称这极限为函数在点P沿方向方向导数 记为 =lim f∫(x+Ax,y+Δ)-f(x,y) OLp→>0 依定义,函数f(x,y)在点P沿着x轴正向 1{1,0}y轴正向e2={0,1}的方向导数分别为 ∫x,J;沿着x轴负向、y轴负向的方向导数是 ∫x,-J tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics . ( , ) ( , ) lim 0 f x x y y f x y l f + + − = → 记为 称这极限为函数在点P沿方向l的方向导数． 沿着 趋于 时，如果此比的极限存在，则 两点间的距离 之比值，当 定义 函数的增量 与 P l P x y f x x y y f x y PP = + + + − 2 2 ( ) ( ) ( , ) ( , ) 依定义，函数f (x, y) 在点P 沿着x 轴正向 {1,0} 1 e = r y轴正向 {0,1} 2 e = r 的方向导数分别为 x y f , f ；沿着x 轴负向、y 轴负向的方向导数是 x y − f ,− f
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 定理如果函数z=∫(x,y)在点P(x,y)是可微分的, 那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在,且有 af af cos p+ SIn 其中为x轴到方向L的转角 证明由于函数可微,则增量可表示为 f(r+Ax, y+ Ay)-f(x,y)=Ax+4y+o(p) ax ay 两边同除以尸,得到 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 证明 由于函数可微，则增量可表示为 ( , ) ( , ) y o( ) y f x x f f x x y y f x y + + + + − = 两边同除以 , 得到 定理 如果函数 z = f ( x, y)在点 P ( x , y )是可微分的， 那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有 cos sin y f x f l f + = ， 其中 为 x 轴到方向L的转角．