⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第四节反常积分 无穷限的反常积分 二、无穷函数的反常积分 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第四节 反常积分 一、无穷限的反常积分 二、无穷函数的反常积分 返回
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 无穷限的反常积分 定义1设函数f(x)在区间,+0)上连续,取b>a, 如果极限limf(x)d存在,则称此极限为函数f(x) 在无穷区间+∞)上的反常积分,记作f(x)d r f(x)dx=lim /(r)dx 当极限存在时,称反常积分收敛;当极限不存在时,称 反常积分发散
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 定义 1 设函数 f (x)在区间[a,+)上连续，取b a， 如果极限 →+ b b a lim f (x)dx存在，则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间[a,+)上的反常积分，记作 + a f (x)dx. + a f (x)dx →+ = b b a lim f (x)dx 当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，称 反常积分发散. 一、无穷限的反常积分
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 类似地,设函数f(x)在区间(-∞,b上连续,取a<b, 如果极限Imf(x)存在,则称此极限为函数f(x) a→>-0 b 在无穷区间(b上的反常积分,记作f(x)d ∫ b f(x)dx= lim f()a a→ 当极限存在时,称反常积分收敛;当极限不存在时,称反 常积分发散
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 类似地，设函数 f (x)在区间(−,b]上连续，取 a b， 如果极限 →− b a a lim f (x)dx存在，则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间(−,b]上的反常积分，记作− b f (x)dx. − b f (x)dx →− = b a a lim f (x)dx 当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，称反 常积分发散
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 设函数∫(x)在区间(-∞,+∞)上连续,如果反常积分 + f(x)和。∫(x)都收敛,则称上述两反常积分 之和为函数∫(x)在无穷区间(-∞,+∞)上的反常积分,记 作」。f(x)t ∫ f(x)x=f(x)dx+n∫(x)h lim f(x)dx+ lim lf(x)dx a→-
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 设函数 f (x) 在区间(−,+)上连续,如果反常积分 − 0 f (x)dx和 + 0 f (x)dx都收敛，则称上述两反常积分 之和为函数 f (x)在无穷区间(−,+)上的反常积分，记 作 + − f (x)dx. + − f (x)dx − = 0 f (x)dx + + 0 f (x)dx →− = 0 lim ( ) a a f x dx →+ + b b f x dx 0 lim ( )
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics P+oO d x 例1计算反常积分 1+x 解。 d x o dx d x 1+x 2 ∞1+x 2 2 01+x 0 b m d x + lim d x a1+x b→+∞001+x lim arctan+ lim arctan a→-00 b→+0 兀).兀 =-lim arctan lim arctan= -=优 a→-00 b→+0
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1 计算反常积分 . 1 2 + − + x dx 解 + − + 2 1 x dx − + = 0 2 1 x dx + + + 0 2 1 x dx + = →− 0 2 1 1 lim a a dx x + + →+ b b dx x 0 2 1 1 lim 0 lim arctan a a x →− = b b arctan x 0 lim →+ + a a lim arctan →− = − b b lim arctan →+ + . 2 2 = + = − −