天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第八章 多元函数微分法及其应用（8.4）多元复合函数的求导法则

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第四节多元复合函数的求导法则 多元复合函数求导的链式法则 多元复合函数的全微分 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第四节 多元复合函数的求导法则 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 多元复合函数求导的链式法则 定理若函数u=p(),v=v(在点可导,z=f(4,)在点(x,) 处偏导连续,则复合函z=f((D,y(O 点t可导,且有链式法则 dz a du az dv dt au dt ay dt 证:设t取增量△t,则相应中间变量 有增量△u,△v, △ au (p=√(△n)2+(△v)2) tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、多元复合函数求导的链式法则 定理.若函数 z = f (u,v) 处偏导连续,则复合函 数在点 t 可导,且有链式法则 t v v z t u u z t z d d d d d d     +   = z 证: 设 t 取增量△t ,则相应中间变量 v v z u u z z     +    = + o (  ) u v 有增量 t t △u , △v

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o △0z△u,0zAν,0(p) △tu△tav△t'M(p=y(△n)2+(△v)2) 令△t→0,则有△u→>0,△ν→0, △udu△pdy △tdt△tdt 0(P)_0(p) △2+( )0 A t pV△t (△t<0时,根式前加“-”号) dz a du az dy dt au dt ay dt (全导数公式) tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 则有u → 0, v → 0, ( 全导数公式 ) t v v z t u u z t z     +     =   t o  + (  ) z u v t t ( ( ) ( ) ) 2 2  = u + v ( )  o  = (△t＜0 时,根式前加“–”号) t v t v t u t u d d , d d →   →   t v v z t u u z t z d d d d d d     +   =

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 说明若定理中f(x,)在点(,)偏导数连续减弱为偏导数 存在,则定理结论不一定成立 u v 2+y2≠0 例如:z=∫(,yv) u+y u=t. v=t 2+y2=0 易知: 00)=20)=0,omy(0,0)f(0,0)=0 但复合函数z=f(t,t) 2 d z az du az d ≠ =0·1+0·1=0 d t ou dt ay dt tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例如: z = f (u, v) = u = t , v = t 易知: 但复合函数 z = f (t, t ) 2 1 d d = t z  t v v z t u u z d d d d     +   = 01+ 01 = 0 偏导数连续减弱为偏导数 存在,则定理结论不一定成立. 2 t = , 0 2 2 2 2 2 +  + u v u v u v 0 , 0 2 2 u + v = 说明:若定理中

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 推广:设下面所涉及的函数都可微 1)中间变量多于两个的情形.例如, z=f(u,v,w),u=p(t,v=y(t),w=a(t) ∵, dv az dw dz az du a dt au dt av dt aw dt =fo+f2y+f3a tt t 2)中间变量是多元函数的情形.例如, z=∫(Uu,ν),l=φ(x,y),ν=v(x,y) az az au az av 十 ax au ax av ax for+fy 01≠ az au az av fr+5y y au ay aνa x y x y tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 推广:设下面所涉及的函数都可微 . 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z = f (u,v,w) , = t z d d = + +  1 2 3 f f f 2) 中间变量是多元函数的情形.例如, z = f (u,v) , u =  (x, y), v = (x, y) =   x z 1 1 2 1 = f   + f   1 2 2  2 = = f   + f     y z z z u v w u v x y x y t t t t u u z d d    t v v z d d    + t w w z d d    + x u u z      x v v z      + y u u z      y v v z      + u =  (t), v = (t), w = (t)