⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第六节多元函数微分学的几何应用 空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第六节 多元函数微分学的几何应用 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 空间曲线的切线与法平面 P(t) 设空间曲线的方程{y=v()( =O(t) (1)式中的三个函数均可导 设M(x0,y,z0,对应于t 0 M(x0+△x,y+△y,zo+△z) M 对应于t=t0+△t O X tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 设空间曲线的方程 (1) ( ) ( ) ( ) = = = z t y t x t o z y x (1)式中的三个函数均可导. 一、空间曲线的切线与法平面 M • • M ; ( , , ), 0 0 0 0 设 M x y z 对应于 t = t . ( , , ) 0 0 0 0 t t t M x x y y z z = + D + D + D + D 对应于
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 割线MM的方程为 M x-x0y-y0-3 △ △ O X 考察割线趋近于极限位置——切线的过程 上式分母同除以△t, x-0_y-y0_3 △v △ △t △t tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 考察割线趋近于极限位置——切线的过程 z z z y y y x x x D − = D − = D − 0 0 0 Dt Dt Dt 上式分母同除以 Dt, o z y x M • 割线 MM 的方程为 • M , 0 0 0 z z z y y y x x x D − = D − = D −
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 当M→M,即Δt→0时, 曲线在M处的切线方程 r-5o y=yo o(to) y(to) a(to 切向量:切线的方向向量称为曲线的切向量 T={0(4),yr(tn,o(4) 法平面:过M点且与切线垂直的平面 (t(x-x0)+y(t0)(y-y)+o(t0)(z-z0)=0 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 曲线在M处的切线方程 . ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 t z z t y y t x x − = − = − 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. T = (t 0 ),(t 0 ),(t 0 ) 法平面：过M点且与切线垂直的平面. (t 0 )(x − x0 ) +(t 0 )( y − y0 ) +(t 0 )(z − z0 ) = 0 当 → ,即 D → 0时 , M M t
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例1求曲线x=t,y=t2,z=t3,在点(1,1)处的 切线与法平面方程。 解因为x=1,y=2t,乙=3t2,而点(,,1)对应的 参数t=1,所以T=(1,2,3) 于是,→切线方程为 3 法平面方程为 x+2y+3x=6 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1 求曲线 , , , 2 3 x = t y = t z = t 在点(1,1,1) 处的 切线与法平面方程。 解 因为 = 1, = 2 , = 3 , 2 x y t z t t t t 而点 (1,1,1)对应的 参数 t = 1 ,所以 T = (1 ,2 ,3 ) 于是， 切线方程为 , 3 1 2 1 1 1 − = − = x − y z 法平面方程为 x + 2 y + 3 z = 6