⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第八节多元函数的极值及求法 、多元函数的极值与最值 、条件极值拉格朗日乘数法 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第八节 多元函数的极值及求法 二、条件极值拉格朗日乘数法 一、多元函数的极值与最值
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 、多元函数的极值和最值 1、二元函数极值的定义 设函数z=f(x,y)在点(xn,y)的某邻域 内有定义,对于该邻域内异于(x0,y)的点(x,y) 若满足不等式f(x,y)<f(x0,y),则称函数在 (x0,y0)有极大值;若满足不等式f(x,y)>f(x0,y0) 则称函数在(x0,y0)有极小值; 极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 1、二元函数极值的定义 一、多元函数的极值和最值 设函数 z = f ( x , y ) 在点( , ) 0 0 x y 的某邻域 内有定义，对于该邻域内异于 的点 ( x , y ) 若满足不等式 ( , ) ( , ) 0 0 f x y < f x y ，则称函数在 ( , ) 0 0 x y 有极大值；若满足不等式 ( , ) ( , ) 0 0 f x y > f x y 则称函数在 ( , ) 0 0 x y 有极小值； 极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 ( , ) 0 0 x y
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例1函数 z=3x2+4y 在(0,0)处有极小值 (1) 例2函数z=-x2+y2 在(0,0)处有极大值 例3函数z=xy (3) 在(0,0)处无极值 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics (1) (2) (3) 例1 例２ 例３ 在 处有极小值． 函数 (0,0) 3 4 2 2 z = x + y 在 处有极大值． 函数 (0,0) 2 2 z = - x + y 在 处无极值． 函数 (0,0) z = xy
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 2、多元函数取得极值的条件 定理1(必要条件) 设函数z=∫(x,y)在点(x0,)具有偏导数,且 在点(x0,y0)处有极值,则它在该点的偏导数必 然为零:f(x0,y0)=0,f,(x0,y0)=0 证不妨设z=f(x,y)在点(x0,y)处有极大值, 则对于(x0,y0)的某邻域内任意 (x,y)≠(x0,y)都有f(x,y)<f(x0,y0) tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 2、多元函数取得极值的条件 (x, y) ( , ) 0 0 x y 证 不妨设 定理1 （必要条件） 设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( , ) 0 0 x y 具有偏导数，且 在点 ( , ) 0 0 x y 处有极值，则它在该点的偏导数必 然为零： ( , ) 0 0 0 f x y = x ， ( , ) 0 0 0 f x y = y . z = f ( x , y )在点( , ) 0 0 x y 处有极大值, 则对于( , ) 0 0 x y 的某邻域内任意 都有 f ( x , y ) < ( , ) 0 0 f x y
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 故当y=y,x≠x0时,有f(x,y)<∫(x,y0) 说明一元函数f(x,y)在x=x0处有极大值 必有fx(x0,y)=0; 类似地可证f(x0,y0)=0 推广如果三元函数u=f(x,y,z)在点P(x0,y0,) 具有偏导数,则它在P(x0,y,z)有极值的必要条 件为 f(xo, yo, 40)=0, f(xo,yo, 0)=0 f(x, 09y0940 )=0 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 类似地可证 f y (x0 , y0 ) = 0. 推广 如果三元函数 u = f (x, y,z)在点 ( , , ) 0 0 0 P x y z 具有偏导数，则它在 ( , , ) 0 0 0 P x y z 有极值的必要条 件为 f x (x0 , y0 ,z0 ) = 0， f y (x0 , y0 ,z0 ) = 0， fz (x0 , y0 ,z0 ) = 0. 说明一元函数 ( , ) 0 f x y 在x x0 = 处有极大值, 必有 ( , ) 0 0 0 f x y = x ; 故当 0 y = y ， x x0 时，有 ( , ) < 0 f x y ( , ) 0 0 f x y