⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第五节隐函数的求导公式 个方程的情形 二、方程组的情形 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第五节 隐函数的求导公式 一、 一个方程的情形 二、方程组的情形
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 、一个方程的情形 1.F(x,y)=0 隐函数存在定理1设函数F(x,y)在点的P(x,y)某 邻域内具有连续的偏导数,且F(x0,y0)=0 Fn(x0,y)≠0,则方程F(x,y)=0在点P(x0,y0)的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数 的函数y=f(x),它满足条件y0=f(x0),并有 dx F 隐函数的求导公式 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 1. F(x, y) = 0 一、一个方程的情形 隐函数的求导公式 隐函数存在定理1 设函数F ( x , y ) 在点的P (x0 , y0 )某一 邻域内具有连续的偏导数，且 ( , ) 0 0 0 F x y = Fy ( x0 , y 0 ) 0 ，则方程F ( x , y ) = 0在点 ) , ( 0 0 P x y 的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数 的函数 y = f ( x ) ，它满足条件 ( ) 0 0 y = f x ，并有 y x F F dx dy = -
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例1验证方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某邻域内能 唯一确定一个单值可导、且x=0时y=1的隐函数 y=f(x),并求这函数的一阶和二阶导数在x=0的值 解令F(x,y)=x+y-1则F=2x,F=2J, F(0,1)=0,F,(0,1)=2≠0, 依定理知方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x=0时y=1的函数 y=∫(x) tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 解 令 ( , ) 1 2 2 F x y = x + y - 则 F 2x, x = F 2 y, y = F(0,1) = 0, (0,1) = 2 0, Fy 例１验证方程 1 0 2 2 x + y - = 在点(0 ,1) 的某邻域内能 唯一确定一个单值可导、且x = 0 时y = 1 的隐函数 y = f ( x )，并求这函数的一阶和二阶导数在x = 0的值. 依定理知方程 1 0 2 2 x + y - = 在点(0 ,1) 的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x = 0 时 y = 1的函数 y = f ( x )
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 函数的一阶和二阶导数为 Fr x d x y-x dy y-xy 2 =-1. d x' tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics y x F F dx dy = - , y x = - 0, 0 = dx x= dy 2 2 2 y y xy dx d y - = - 2 y y x y x - - = - , 1 3 y = - 1. 0 2 2 = - x= dx d y 函数的一阶和二阶导数为
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 2.F(x,y,z)=0 隐函数存在定理2设函数F(x,y,x)在点P(x0yn,z0) 的某一邻域内有连续的偏导数,且F(x0y0,0)=0 F2(x0,y0,z0)≠0,则方程F(x,y,z)=0在点 P(xa,yn,zan)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值 连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y) 它满足条件z0=f(x0,y0) 并有 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 2. F(x, y,z) = 0 隐函数存在定理2 设函数F ( x, y,z) 在点 ( , 0 P x , ) 0 0 y z 的某一邻域内有连续的偏导数，且 ( , 0 F x , ) 0 0 0 y z = ， ( , , ) 0 0 0 0 F x y z z ，则方程F ( x, y , z) = 0在点 ( , , ) 0 0 0 P x y z 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值 连续且具有连续偏导数的函数 z = f ( x , y )， 它满足条件 ( , ) 0 0 0 z = f x y 并有 z x F F x z = - ， z y F F y z = -