《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 矩阵与向量 2-4 矩阵的秩

§2.4矩阵的秩 一、矩阵的行（列秩、秩 二、矩阵秩与矢量组的极大 无关组、秩的求法 三、矩阵秩的第二定义 四、本节内容小结

§2.4 矩阵的秩 一、 矩阵的行(列)秩、秩 三、矩阵秩的第二定义 四、本节内容小结

一、矩阵的行（列秩、秩 矩阵A=(a4 有n个m维列向量 mxn L11 L12 L21 L22 A2n A= : d2 矢量组C1,02,.,C,称为矩阵A的列矢量组

矩阵A aij 有n个m维列向量 m n ( )  =               = a a a a a a a a a a a a A m m mj mn j n j n             1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2  j  n 一、矩阵的行(列)秩、秩 矢量组 1 ,2 ,  ,n 称为矩阵A的列矢量组．

类似地，矩阵A=(aU)n又有m个n维行向量 L11 L12 21 L22 a2n B2 A= Qil Ai2 (in B, : Am1 am2 dm Bm 矢量组B,B2,.Bm称为矩阵A的行矢量组

类似地,矩阵A = (aij ) mn 又有m个n维行向量                   = a a a a a a a a a a a a A m m mn i i in n n             1 2 1 2 21 22 2 11 12 1 1 2 i  m 矢量组 1 ,2 ,  m 称为矩阵A的行矢量组．

1.定义2.4.1设m×n矩阵A,称A的行矢量组的秩称 为矩阵A的行秩，列矢量组的秩称为矩阵A的列秩 1 0 例题1：求矩阵A= 012的行秩和列秩 214 解：A的行向量a=(1,0,1),2=(0,1,2),C3=(2,1,4) 101 由行列式012=0，知向量组a1,2,a,线性相关， 214

1.定义2.4.1 设m×n矩阵A，称A 的行矢量组的秩称 为矩阵A的行秩，列矢量组的秩称为矩阵A的列秩. 1 2 3 A的行向量   = = = (1,0,1), (0,1,2), (2,1,4) 1 2 3 1 0 1 0 1 2 0 , , 2 1 4 由行列式 = ，知向量组   线性相关， 解： . 2 1 4 0 1 2 1 0 1 例题1:求矩阵 的行秩和列秩           A =

又a,a,线性无关，故%，是4的行向量组的一个 最大无关组，所以矩阵4的行秩等于2. 同样方法可以求出A的列秩等于2. 1131 例题2：求矩阵A=02-14的行秩和列秩 0005 解：A的三个行矢量为 01=(1,1,3,1),a2=(0,2,-1,4),%3=(0,0,0,5) 去掉A的第三个分量量 =(1,1,1),2=(0,2,4),3=(0,0,5)

1 2 1 2 , , 2. A A 又    线性无关，故 是 的行向量组的一个 最大无关组，所以矩阵 的行秩等于 1 2 3    = = − = (1,1,3,1), (0,2, 1,4), (0,0,0,5). 同样方法可以求出A的列秩等于2. 解：A的三个行矢量为 1 2 3       = = = (1,1,1), (0,2,4), (0,0,5). . 0 0 0 5 0 2 1 4 1 1 3 1 例题2 :求矩阵 的行秩和列秩           A = − 去掉A的第三个分量量