《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 矩阵与向量 2-3 向量组的线性关系

§2.3向量组的线性相关性 一、线性组合 二、线性相关和线性无关 三、向量组的等价 四、向量组的最大无关组和秩 五、向量空间的基与向量的坐标

§2.3 向量组的线性相关性 一、线性组合 二、线性相关和线性无关 三、向量组的等价 四、向量组的最大无关组和秩 五、向量空间的基与向量的坐标

一、线性组合 在向量线性运算的基础上，讨论向量之间的关系 1.定义2.3.1对于向量41，必2，am和a,若存在m 个数1,2，.，1m,使得： a&=21a1+22+.+九mCm 则称a是4，c2,am的线性组合，1,2，.，m称 为组合系数。 或者称向量a可由向量组c41,2,&m线性表示 说明：(1)零向量是任何一组向量组的线性组合

一、线性组合 在向量线性运算的基础上,讨论向量之间的关系. 1.定义2.3.1 对于向量1 ,2 ,., m和，若存在m 个数1 ,2 ,. ,m ，使得：  = 11 + 22 + .+ mm 则称是1 ,2 ,.,m的线性组合，1 ,2 ,. ,m 称 为组合系数。 说明：(1)零向量是任何一组向量组的线性组合 . 或者称向量可由向量组1 ,2 ,.,m 线性表示

例1设n维向量 61=(1,0,.,0) 62=(0,1.,0) 6n=(0,0,.,1) a=(41,42,.,4n)是任意一个n维向量，由于 0=(a1,a2,.,an）=a181+a22+a363+.+anEn 通常称E1,62,En为n维单位坐标向量组. (2)任一n维向量a可由维单位坐标向量组6,62，.，6m 线性表示出来

1 2 1 2 1 (1,0, ,0) (0,1, ,0) (0,0, ,1) ( , , , ) n n n a a a n     =  =  =  =  例 设 维向量 是任意一个 维向量，由于 通常称 1 2 , , , n     为n维单位坐标向量组. . (2) , , , 1 2 线性表示出来 任一n维向量 可由维单位坐标向量组 n      n n n  = a a  a = a  + a  + a  ++ a  1 2 1 1 2 2 3 3 ( , , , )

0a1+.+1c+.+0am=a1≤i≤m (3)向量组中任一向量&，可由向量组☑，42，.，m线性 表示出来 (4)线性表示（线性组合）具有传递性。 对于一般的向量与向量组，我们可做如下转化。 2.向量a能否由向量组，.，xm线性表出可转化为 线性方程组有没有解的问题

0 +1 0     1 i i + ++ = m 1 i m . (3) , , , i 1 2 表示出来 向量组中任一向量 可由向量组    m 线性 对于一般的向量与向量组，我们可做如下转化。 . 2. , , 1 线性方程组有没有解的问题 向量能否由向量组   m 线性表出可转化为 (4)线性表示(线性组合)具有传递性

X1a1+X202+.+Xm0m=a 42j 4,9 j=1,2,n 21 22 42m b2 X1 +X2 +.十m nm ba) 「b a4111+a12X2+.+amXm=b1 B2 ay+dxx:++amXa=b（ Q= anx+anx2+.+armxm=b

(*) 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1        + + + = + + + = + + + = n n n m m n m m m m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     x x x 1 1 2 2     + ++ = m m 1 2 1, 2, , j j j mj a a j n a        = =         1 2 n b b b        =        11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 m m m n n nm n a a a b a a a b x x x a a a b                         + ++ =                        