跨煮教育KUAKAODCABornto winO'u 2?+x?-y?aux?+y?-2?++oy2(x?+y?+2)?'u,ou,ou1因此，div(grad u) =xy++(5)【答案】k(1,1,,1)【解析】因为r(A)=n-1,由n-r(A)=1知,齐次方程组的基础解系为一个向量,故Ax=0的通解形式为kn，下面根据已知条件“A的各行元素之和均为零”来分析推导Ax=0的一个非零解，它就是Ax=0的基础解系各行元素的和均为0，即a+a2+am=0a2+a2.+a2=0[am+a2*-+am=0而齐次方程组Ax=0为[a+a+.+anx=0a2i, +a22x+..+anx,=0am+an+.+ax,=0两者比较，可知x=xz=…=x,=1是Ax=0的解.所以应填k(1,11)二、选择题（本题共5小题，每小题3分,满分15分.）(1）【答案】(B).0,f(α)为"”型的极限未定式，又分子分母在点0处导数都存在，【解析】lim0x0 g(x)运用洛必达法则，有sin(t?)dt洛sin(sin’ x)cos xsin(sin’ x)f(x)0limlimlim=lim-limcosxx3 +x43x2 +4x3x→0 3x2+4x3→0x→0x→0 g(x)→ sin(sin? x)=limx0 3x2 + 4x3因为当x→0,sinx→0,所以sin(sin?x)~sinx~x,所以6
Born to win 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) u z x y y x y z + − = + + , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) u x y z z x y z + − = + + , 因此, 222 2 2 2 2 2 2 1 (grad ) uuu div u x y z x y z = + + = + + . (5)【答案】 (1,1, ,1)T k 【解析】因为 r A n ( ) 1 = − ,由 n r A − = ( ) 1 知,齐次方程组的基础解系为一个向量,故 Ax = 0 的通解形式为 k .下面根据已知条件“ A 的各行元素之和均为零”来分析推导 Ax = 0 的一个非零解,它就是 Ax = 0 的基础解系. 各行元素的和均为 0,即 11 12 1 21 22 2 1 2 0 0 0 n n n n nn a a a a a a a a a + + = + + = + + = , 而齐次方程组 Ax = 0 为 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = . 两者比较,可知 1 2 1 n x x x = = = = 是 Ax = 0 的解.所以应填 (1,1, ,1)T k . 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】(B) 【解析】 0 ( ) lim ( ) x f x → g x 为“ 0 0 ”型的极限未定式,又分子分母在点 0 处导数都存在, 运用洛必达法则,有 sin 2 2 2 0 3 4 2 3 2 3 0 0 0 0 0 sin( ) ( ) sin(sin )cos sin(sin ) lim lim lim lim limcos ( ) 3 4 3 4 x x x x x x t dt f x x x x x → → → → → g x x x x x x x = = = + + + 洛 2 2 3 0 sin(sin ) lim x 3 4 x → x x = + . 因为当 x →0 , sin 0, x → 所以 2 2 2 sin(sin ) sin x x x ,所以
跨煮教育KUAKAODCAnBorn to winx21sin(sin’ x)1limlimlim1→03x2+4x3x03+4x3→03x2+4x3所以f(x)与g(x)是同阶但非等价的无穷小量.应选(B)。【相关知识点】无穷小的比较：α(x)lim=1设在同一个极限过程中，α(x),β(x）为无穷小且存在极限β(x)(1）若1+0,称α(x),β(x)在该极限过程中为同阶无穷小；(2）若[=1,称α(x),β(x)在该极限过程中为等价无穷小，记为α(x)~β(x)；(3）若1=0.称在该极限过程中α(x)是β(x)的高阶无穷小,记为α(x)=o(β(x))()不存在(不为),称α(x),β(x)不可比较.若limβ(x)(2）【答案】（A)【解析】由方程可以看出双纽线关于x轴、y轴对称，（如草图）只需计算所围图形在第一象限部分的面积；双纽线的直角坐标方程复杂，而极坐标方程较为简单：p=cos20.显然，在第一象限部分的变化范围是βe[0,马].再由对称性得4S=4S, =4.-cos20deo'deJ应选(A).(3）【答案】(C)【解析】这实质上是求两个向量的夹角问题，L，与L，的方向向量分别是j1 =(1,-2,1), 7 =1 -1 0=(-1,-1,2),21L,与L,的夹角@的余弦为7
Born to win 7 2 2 2 3 2 3 0 0 0 sin(sin ) 1 1 lim lim lim x x x 3 4 3 4 3 4 3 x x → → → x x x x x = = = + + + , 所以 f x( ) 与 g x( ) 是同阶但非等价的无穷小量.应选(B). 【相关知识点】无穷小的比较： 设在同一个极限过程中, ( ), ( ) x x 为无穷小且存在极限 ( ) lim ( ) x l x = , (1) 若 l 0, 称 ( ), ( ) x x 在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若 l = 1, 称 ( ), ( ) x x 在该极限过程中为等价无穷小,记为 ( ) ( ) x x ； (3) 若 l = 0, 称在该极限过程中 ( ) x 是 ( ) x 的高阶无穷小,记为 ( ) ( ) x o x = ( ) . 若 ( ) lim ( ) x x 不存在(不为 ),称 ( ), ( ) x x 不可比较. (2)【答案】(A) 【解析】由方程可以看出双纽线关于 x 轴、 y 轴对称,(如草图) 只需计算所围图形在第一象限部分的面积； 双纽线的直角坐标方程复杂,而极坐标方程 较为简单： 2 = cos 2 . 显然,在第一象限部分 的变化范围是 [0, ] 4 .再由对称性得 4 4 2 1 0 0 1 4 4 2 cos 2 2 S S d d = = = , 应选(A). (3)【答案】(C) 【解析】这实质上是求两个向量的夹角问题, L1 与 L2 的方向向量分别是 1 2 (1, 2,1), 1 1 0 ( 1, 1,2) 021 i j k l l = − = − = − − , L1 与 L2 的夹角 的余弦为